szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2016, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Tarnowskie Góry
Pokazać, że wśród 15 różnych liczb naturalnych nie przekraczających 100, są 4 liczby
a b c d takie, że a + b = c + d lub 3 liczby a b c tworzące postęp arytmetyczny
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2016, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Warszawa
Oznaczmy przez a_1,...,a_{15} te liczby w kolejności rosnącej. Piszemy:
A_{ji}=a_j-a_i
dla 1\leq i<j\leq 15. Mamy:
0<A_{ji}<100
Par (i,j) takich, że 1\leq i<j\leq 15 jest:
{15\choose 2}= 7\cdot 15=105
Z zasady szufladkowej istnieją 1\leq i<j\leq 15 oraz 1\leq k<l\leq 15 takie, że (i,j)\neq (k,l) oraz:
A_{ji}=A_{kl}
czyli:
a_j-a_i=a_l-a_k
Jeżeli i=l to wtedy:
a_j-a_i=a_i-a_k
Stąd a_k,a_i,a_j tworzą ciąg arytmetyczny.
Jeżeli i\neq l, to wtedy:
a_j+a_k=a_l+a_i
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2016, o 15:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18424
Lokalizacja: Cieszyn
Można założyć, że te liczby nie przekraczają 105. Wtedy różnice nie przekraczają 104 (zakładam, że 0\not\in\NN).

Zgodnie z prywatną rozmową z Przedmówcą zamieszczam swój szkic rozumowania. Pisaliśmy w tym samym momencie, a Kolega był pierwszy, więc pierwotnie tego nie umieściłem.

Pewien szkic rozumowania (pod założeniem z pierwszej linii mojego wpisu): pierwszy warunek można wyrazić teraz jako b-c=d-a.

Niech a_1<\dots<a_{15}. Tworzymy różnice a_i-a_j, gdzie i>j (zawsze są dodatnie). Mamy takich różnic 105, a każda jest mniejsza niż 105. Skorzystaj z tego. Wyjdą dwa omawiane przypadki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zasada szufladkowa - zadanie 5  Hnoss  3
 zasada szufladkowa - zadanie 7  marffy  1
 Zasada szufladkowa - zadanie 15  Nesquik  2
 Zasada szufladkowa - zadanie 12  sympatia17  1
 zasada szufladkowa - zadanie 13  Huub900  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl