szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 5 lip 2016, o 23:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10821
Lokalizacja: Wrocław
Dostałem kiedyś takie zadanko:
znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f(x,y,z)=xy+yz+zx
w zbiorze \left\{ (x,y,z) \in \RR^3: x+y+z=7 \wedge xyz=9 \wedge x>0, y>0, z>0\right\}
Można tutaj się posłużyć metodą mnożników Lagrange'a (dużo obliczeń, ale ogólnie nic trudnego, co najwyżej można się pomylić w rachunkach), natomiast ciekaw jestem, czy da się to rozwiązać ładniej - bez tej metody, a jeszcze lepiej w ogóle bez rachunku różniczkowego (np. z użyciem jakichś podstawowych nierówności i mózgu, którego ja nie mam).

Z góry dziękuję za wszelkie propozycje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2016, o 00:41 
Użytkownik

Posty: 1425
Lokalizacja: Warszawa
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)

2f(x,y,z)+x^2+y^2+z^2=49

f(x,y,z)=\frac{49}2-\frac12(x^2+y^2+z^2)=\frac{49}2-\frac12(x^2+(y+z)^2-2yz)=\\\\=\frac{49}2-\frac12\left(x^2+(7-x)^2-\frac{18}x\right)

No i mamy do zbadania funkcję jednej zmiennej na przedziale (0,7), czego się już raczej nie zrobi bez rachunku różniczkowego. Zgodnie z postulatem próbowałem bez niego - przez nierówności między średnimi itp., ale nie chciało pójść. Wydaje mi się, że zbiór ma zbyt skomplikowaną postać, żeby dało się tak zupełnie elementarnie, ale jeśli ktoś lepszy znajdzie takie rozwiązanie - z przyjemnością zobaczę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2016, o 16:12 
Użytkownik

Posty: 628
Lokalizacja: Łódź
Korzystając z równości x+y+z=7, xyz=9, nieujemności kwadratów i dodatniości x,y,z dostajemy:

0\leq\left(\frac{(y-z)^2}{2+y+z}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3
=\left(\frac{(y+z)^2-4yz}{9-x}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3\\
=\left(\frac{(7-x)^2-2^2-4\cdot\frac{xyz-x}x}{9-x}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3\\
=\left(\frac{(9-x)(5-x)-4\cdot\frac{9-x}x}{9-x}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3\\
=\left(5-x-\frac4x+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3
=\left(3-\frac3x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3
=x^2-7x+15-\frac9x\\
=15-x(7-x)-yz=15-(xy+yz+zx)=15-f(x,y,z)

Podobnie
0\leq\left(\frac{(y-z)^2}{2+y+z}+\frac{(x-4)^2}x\right)\cdot\frac{(2x-3)^2}{12}
=\left(5-x-\frac4x+\frac{(x-4)^2}x\right)\cdot\frac{(2x-3)^2}{12}\\
=\left(-3+\frac{12}x\right)\cdot\frac{(2x-3)^2}{12}
=-x^2+7x-14\frac14+\frac9x\\
=x(7-x)+yz-14\frac14=xy+yz+zx-14\frac14=f(x,y,z)-14\frac14

Stąd 14\frac14\leq f(x,y,z)\leq15. W połączeniu z f(3,3,1)=15 oraz f(3/2,3/2,4)=14\frac14 daje to najmniejszą i największą wartość f odpowiednio 14\frac14 i 15.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 7 lip 2016, o 09:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10821
Lokalizacja: Wrocław
Nieziemskie rozwiązanie. :o
Dziękuję bardzo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2016, o 16:30 
Użytkownik

Posty: 1425
Lokalizacja: Warszawa
Tak, rozwiązanie jest tak czarodziejskie, że aż nie wiadomo, jak do tych czarów doszło :) Czy mógłbyś zdradzić, jak powstało to rozwiązanie? Zrozumienie, skąd się wziął dobry pomysł, jest bardziej pouczające niż obejrzenie jego rezultatów.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ekstrema lokalne - zadanie 72  Hohlik7  3
 funkcja uwikłana - znaleźć ekstrema  czerwien  4
 Asyptoty, ekstrema  karolcia2905  17
 monotonicznosc oraz ekstrema funkcji  mazifox  1
 Ekstrema i monotonicznosc funkcji.  2.72lo  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl