szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2016, o 00:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12427
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Dostałem kiedyś takie zadanko:
znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f(x,y,z)=xy+yz+zx
w zbiorze \left\{ (x,y,z) \in \RR^3: x+y+z=7 \wedge xyz=9 \wedge x>0, y>0, z>0\right\}
Można tutaj się posłużyć metodą mnożników Lagrange'a (dużo obliczeń, ale ogólnie nic trudnego, co najwyżej można się pomylić w rachunkach), natomiast ciekaw jestem, czy da się to rozwiązać ładniej - bez tej metody, a jeszcze lepiej w ogóle bez rachunku różniczkowego (np. z użyciem jakichś podstawowych nierówności i mózgu, którego ja nie mam).

Z góry dziękuję za wszelkie propozycje.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2016, o 01:41 
Użytkownik

Posty: 1427
Lokalizacja: Warszawa
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)

2f(x,y,z)+x^2+y^2+z^2=49

f(x,y,z)=\frac{49}2-\frac12(x^2+y^2+z^2)=\frac{49}2-\frac12(x^2+(y+z)^2-2yz)=\\\\=\frac{49}2-\frac12\left(x^2+(7-x)^2-\frac{18}x\right)

No i mamy do zbadania funkcję jednej zmiennej na przedziale (0,7), czego się już raczej nie zrobi bez rachunku różniczkowego. Zgodnie z postulatem próbowałem bez niego - przez nierówności między średnimi itp., ale nie chciało pójść. Wydaje mi się, że zbiór ma zbyt skomplikowaną postać, żeby dało się tak zupełnie elementarnie, ale jeśli ktoś lepszy znajdzie takie rozwiązanie - z przyjemnością zobaczę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2016, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 635
Lokalizacja: Łódź
Korzystając z równości x+y+z=7, xyz=9, nieujemności kwadratów i dodatniości x,y,z dostajemy:

0\leq\left(\frac{(y-z)^2}{2+y+z}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3
=\left(\frac{(y+z)^2-4yz}{9-x}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3\\
=\left(\frac{(7-x)^2-2^2-4\cdot\frac{xyz-x}x}{9-x}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3\\
=\left(\frac{(9-x)(5-x)-4\cdot\frac{9-x}x}{9-x}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3\\
=\left(5-x-\frac4x+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3
=\left(3-\frac3x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3
=x^2-7x+15-\frac9x\\
=15-x(7-x)-yz=15-(xy+yz+zx)=15-f(x,y,z)

Podobnie
0\leq\left(\frac{(y-z)^2}{2+y+z}+\frac{(x-4)^2}x\right)\cdot\frac{(2x-3)^2}{12}
=\left(5-x-\frac4x+\frac{(x-4)^2}x\right)\cdot\frac{(2x-3)^2}{12}\\
=\left(-3+\frac{12}x\right)\cdot\frac{(2x-3)^2}{12}
=-x^2+7x-14\frac14+\frac9x\\
=x(7-x)+yz-14\frac14=xy+yz+zx-14\frac14=f(x,y,z)-14\frac14

Stąd 14\frac14\leq f(x,y,z)\leq15. W połączeniu z f(3,3,1)=15 oraz f(3/2,3/2,4)=14\frac14 daje to najmniejszą i największą wartość f odpowiednio 14\frac14 i 15.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2016, o 10:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12427
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Nieziemskie rozwiązanie. :o
Dziękuję bardzo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2016, o 17:30 
Użytkownik

Posty: 1427
Lokalizacja: Warszawa
Tak, rozwiązanie jest tak czarodziejskie, że aż nie wiadomo, jak do tych czarów doszło :) Czy mógłbyś zdradzić, jak powstało to rozwiązanie? Zrozumienie, skąd się wziął dobry pomysł, jest bardziej pouczające niż obejrzenie jego rezultatów.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okreslic ekstrema i monotonicznosc  tronq  3
 Ekstrema i punkty przegięcia funkcji  radeon_231  0
 Wyznacz ekstrema funkcji - zadanie 5  Traper  2
 Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema funkcji.  Lobuziaczek  4
 Granica, ciągłość, ekstrema  Basiek170  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl