szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2016, o 09:21 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
Dana jest prosta L przechodząca przez punkty A\left( 2,1,1\right),B\left( 3,1,-1\right) oraz punkt O\left( 0,0,0\right).
a)Obliczyć pole trójkąta OAB w oparciu pierwiastek z wyznacznika macierzy Grama wektorów.
b) Wyznaczyć wektor kierunkowy v oraz wektory normalne u,w prostej L.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2016, o 12:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
a) Musisz utworzyć macierz Grama, do której stworzenia będziesz używał dwóch wektorów, na których rozpięty jest trójkąt. Następnie liczysz jej wyznacznik, bierzesz moduł tego wyznacznika, liczysz jego pierwiastek i dzielisz przez 2 - w ten sposób otrzymasz pole trójkąta.

b) Wektor kierunkowy to wektor wyznaczony przez wektor wyznaczony przez punkty A i B. Wektory normalne to wektory prostopadłe do tego wektora. Zauważ, że leżą one na płaszczyźnie prostopadłej do tej prostej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2016, o 23:06 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
Z tego co czytam na wikipedii to ta macierz jest kwadratowa więc potrzebuje jeszcze chyba trzeciego wektora, żeby było 3x3, albo czym ją uzupełnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2016, o 13:14 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
A możesz pokazać jak się tworzy tą macierz Grama, bo nie bardzo rozumiem ten sposób z Wikipedii?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2016, o 13:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Trójkąt ten rozpięty jest na dwóch wektorach v_1 = [2,1,1], \ v_2 = [3,1,-1].
Tworzymy zatem macierz 2 x 2 takiej postaci
\left[ 
        \begin{array}{cc}
         \left\langle v_1, v_1\right\rangle  & \left\langle v_1, v_2\right\rangle \\ 
         \left\langle v_2, v_1\right\rangle  & \left\langle v_2, v_2\right\rangle 
         \end{array}
      \right] 
      \qquad,

gdzie \left\langle \right\rangle - iloczyn skalarny.
To jest Twoja macierz Grama. Następnie to co opisałem wcześniej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2016, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
Ok to rozumiem jak zrobić podpunkt a). A w b) wiem jak wyznaczyć wektor kierunkowy. A jak wyznaczyć wektory normalne? Będzie ich chyba nieskończenie wiele?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2016, o 20:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Wektorów prostopadłych do tej prostej będzie nieskończenie wiele. Mając jej wektor kierunkowy możesz jeden wektor do niej prostopadły znaleźć poprzez zadanie takiego wektora aby ich iloczyn skalarny dawał zero. Z kolei drugi znajdziesz jako iloczyn wektorowy wektora kierunkowego i tego co znalazłeś przed chwilą. Wtedy poszukiwane wektory są z przestrzeni rozpiętej na tych dwóch wektorach (czyli są równoległe do tej płaszczyzny).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2016, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
Ale to nie szukamy wzoru na ogólny wektor równoległy? Czy wybieramy po prostu dwa? A ten wektor, który ma dawać iloczynie skalarnym zero, to jak znaleźć? Tam było coś takiego, że dwie współrzędne się zamieniało, jedna z przeciwnym znakiem czy jakoś tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2016, o 23:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Jeżeli masz prostą, to wszystkie wektory prostopadłe do niej leża na płaszczyźnie prostopadłej do tej prostej, to jest jasne? A więc wyznaczając rozpięcie liniowe tej płaszczyzny wyznaczymy przestrzeń wszystkich wektorów prostopadłych do naszej prostej. U mnie zazwyczaj podawało się te dwa bazowe. Jeżeli masz np. wektor [A,B,C] no to najłatwiej wziąć wektor [B, -A, 0] - wtedy ich iloczyn skalarny daje 0.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 obliczyc pole trojkata i pole kola wpisanego  ahhha  1
 Środek ciężkości trójkąta oraz rozwiązanie trójkąta  Game_Over  3
 wierzchołki trójkata - zadanie 2  asiula0321  0
 Okrąg, którego średnicą jest podstawa trójkąta ...  kylos91  1
 Obliczanie pola trójkata - zadanie 4  pjotrek95  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl