Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Geometria » Geometria trójkąta

Obrót z trójkątem

Strona 1 z 1

[ Posty: 4 ]

Autor

Wiadomość

mol_ksiazkowy Offline

Tytuł: Obrót z trójkątem

Napisane: 7 lip 2016, o 15:35

Posty: 5608
Lokalizacja: Kraków

Dane są różne punkty $A$ i $B$ oraz kąt $\alpha$ . Niech $f_{P}$ będzie obrotem płaszczyzny o kąt $\alpha$ względem punktu $P$ . Dla jakich punktów $X$ trójkąt $f_{A}(X) f_{B}(X)X$ jest równoboczny ?

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

bakala12 Offline

Tytuł: Obrót z trójkątem

Napisane: 7 lip 2016, o 18:32

Posty: 3051
Lokalizacja: Gołąb

Jedyny sensowny sposób na liczenie tego zadania to pała na zespolonych. Rachunki nie są tragiczne. Wyszły mi dwa punkty:
$x_{i} = \frac{a\left(2 \varepsilon +2 - \varepsilon \varepsilon_{i} + \varepsilon_{i}\right)+b\left(-\varepsilon+1-2\varepsilon\varepsilon_{i} + 2\varepsilon_{i}\right)}{\varepsilon\varepsilon_{i}+1}$
gdzie:
$a,b$ - liczby zespolone odpowiadające punktom $A,B$ na płaszczyznie
$\varepsilon = \cos \alpha + i\sin\alpha$
$\varepsilon_{i}$ pierwiastki stopnia trzeciego z jedności (ale bierzemy tylko te dwa różne od jedynki).
Mam nadzieję, że nie ma pomyłki.

Góra

mol_ksiazkowy Offline

Tytuł: Obrót z trójkątem

Napisane: 8 lip 2016, o 14:25

Posty: 5608
Lokalizacja: Kraków

A czy nie można by elementarnie...?

Góra

hannahannah Offline

Tytuł: Obrót z trójkątem

Napisane: 26 lip 2016, o 11:01

Posty: 30
Lokalizacja: ba

Szukane punkty (niezależnie od wartości $\alpha$ ) to punkty $P,Q$ przecięcia okręgów $O(A,|AB|), O(B,|AB|)$ (o środkach w punktach $A,B$ i promieniu $|AB|$ ), czyli takie $P,Q$ ,że trójkąty $ABP$ , $ABQ$ są równoboczne. Po pierwsze $|Xf_A(X)|=|Xf_B(X)|$ , czyli $X$ jest równooddalony od $A$ i $B$ , zatem leży na symetralnej $AB$ . A po drugie jeśli $X$ leży na symetralnej to trójkąt $Xf_A(X)f_B(X)$ jest równoramienny i kąt pomiędzy jego (równymi) ramionami $Xf_A(X), Xf_B(X)$ to kąt pomiędzy okręgami $O(A,|AX|), O(B,|BX|)$ w ich punktach przecięcia a ten jest równy $\frac{\pi} 3$ wtedy i tylko wtady, gdy ich promienie są równe $|AB|$ .

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 4 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Geometria » Geometria trójkąta

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Zadanko z trojkatem - zadanie 3	Sycylijczyk89	0
zadanie wymyślone z trójkatem prostokątnym	matekleliczek	5
Wyliczenie punktu przecięcia półprostej z trójkątem.	qpa122	5
Proste zadanko z trojkatem	bullay	1
uzasadnij ze trójkąt ABC jest trójkątem prostym	p1etro	5

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]