szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2016, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 1430
Lokalizacja: Warszawa
Na płaszczyźnie mamy pewną elipsę i punkt P, leżący poza tą elipsą. Wówczas na tej elipsie istnieje zarówno punkt leżący najbliżej P (nazwijmy go S), jak i najdalej (T). To wynika z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym.
Prawdą jest, że wektor \overrightarrow{PS} jest prostopadły do stycznej do elipsy w punkcie S i \overrightarrow{PT} jest prostopadły do stycznej do elipsy w punkcie T.
To wynika z twierdzenia o ekstremach związanych, natomiast moje pytanie brzmi, czy da się to uzasadnić geometrycznie, bez tak mocnych narzędzi analitycznych. Twierdzenie o ekstremach związanych pozwala uzyskać znacznie więcej: w miejscu elipsy można wziąć dowolną zwartą rozmaitość zanurzoną w \RR^n, a zamiast stycznej mówić o przestrzeni stycznej do rozmaitości.

Zastanawiam się, czy można uzyskać podobny rezultat drogą czysto geometryczną, i nawet na tak prostych przykładach nie wiem, jak do tego podejść. Zwłaszcza że są to stwierdzenia bardzo intuicyjne.

Inny przykład pytania: rozważmy hiperbolę i prostą nieprzecinającą tę hiperbolę. Niech PQ będzie najkrótszym odcinkiem łączącym prostą z hiperbolą, gdzie P leży na hiperboli, Q na prostej. Uzasadnić geometrycznie, że styczna do hiperboli poprowadzona w P jest równoległa do rozważanej prostej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2016, o 12:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Zaragoza
Spróbowałbym rozumować tak jak w dowodzie twierdzenia Hilberta o najlepszej aproksymacji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2016, o 16:07 
Użytkownik

Posty: 1430
Lokalizacja: Warszawa
Czy mógłbym prosić o więcej szczegółów lub odesłanie do jakiegoś źródła? Nie znam tego twierdzenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2016, o 17:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Zaragoza
Twierdzenie to orzeka, że dla każdego punktu x przestrzeni Hilberta H i niepustego, domkniętego, wypukłego zbioru C \subseteq H istnieje dokładnie jeden punkt y \in C, taki że wielkość \|x-y\| jest minimalna. Jeżeli pracujemy z domkniętą podprzestrzenią, równoważnym (minimalności) warunkiem jest prostopadłość wektora x - y do C.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2016, o 15:33 
Użytkownik

Posty: 1430
Lokalizacja: Warszawa
Gdzie mogę znaleźć dowód?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2016, o 17:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Zaragoza
W dowolnym porządnym podręczniku do analizy (funkcjonalnej), a nawet na angielskiej wikipedii: https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_p ... on_theorem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2016, o 20:15 
Użytkownik

Posty: 1430
Lokalizacja: Warszawa
Nie robiłem jeszcze analizy funkcjonalnej. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2016, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 15242
Lokalizacja: Bydgoszcz
Przypuśćmy, że w punkcie S elipsy funkcja d(P,S) ma minimum. Narysuj sobie okrąg o środku P i promieniu d(S,P). łatwo przekonasz się, że jeżeli styczna do elipsy nie jest prostopadła do promienia, to styczna ta przetnie okrąg. Wraz z nią przetnie okrąg również sama elipsa, a to znaczy, że na elipsie znajdą się punkty bliższe niż S.

To ma zastosowanie do każdej gładkiej krzywej, niekoniecznie elipsy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2016, o 01:28 
Użytkownik

Posty: 1430
Lokalizacja: Warszawa
Wszystko zgoda, tylko jak ściśle uzasadnić moment
Cytuj:
Wraz z nią przetnie okrąg również sama elipsa
i jak to uogólnić dla krzywej gładkiej? Rozumiem, że sedno tkwi w tym, że dzięki gładkości krzywa znajduje się (przynajmniej lokalnie) "po jednej stronie stycznej, i to nie po tej stronie, po której leży P". Chciałbym to jednak uściślić.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Odległości punktów  MakCis  6
 Obliczanie odległości między prostymi  Marysienka  4
 Iloczyn odległości od układu współrzędnych od pkt. paraboli  winfast29  1
 const. odległości  rob1991  2
 okręgi, parametry, odległości - 4 zadania  ptaq7  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl