szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lip 2016, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Tarnów
Potrzebuje pomocy przy rozwiązaniu takiego zadania:
b_{n} = 4 \cdot b _{n-1}  - 4b _{n-2} + n \cdot 2 ^{n} - 1 dla n \ge 2, b _{0} =1,b _{1}=3.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
PostNapisane: 10 lip 2016, o 15:47 
Użytkownik
Najpierw jednorodne zrób
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2016, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Tarnów
zrobiłem jednorodne, wyszło
b _{n} ^{h} = (C1+C2 _{n}) \cdot 2 ^{n}
i dalej nie potrafie sobie z tym poradzić ;/
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 lip 2016, o 00:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12446
Lokalizacja: Państwo Polin
http://www.mimuw.edu.pl/~guzicki/materi ... rencja.pdf
str. 28-29

Alternatywna metoda polega na zastosowaniu funkcji tworzących.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 6 sie 2016, o 00:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
b_{n} = 4 \cdot b _{n-1}  - 4b _{n-2} + n \cdot 2 ^{n} - 1 dla n \ge 2, b _{0} =1,b _{1}=3\\
B\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n} \\ 
 \sum_{n=2}^{ \infty }{b_{n}x^n} =\sum_{n=2}^{ \infty }{4b_{n-1}x^n}-\sum_{n=2}^{ \infty }{4b_{n-2}x^n}+\sum_{n=2}^{ \infty }{n \cdot 2^{n}x^n}- \sum_{n=2}^{ \infty }{x^{n}}\\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n}-1-3x=4x\sum_{n=1}^{ \infty }{b_{n}x^n}-4x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n}+\sum_{n=0}^{ \infty }{n \cdot 2^{n}x^n}-0-2x-\frac{x^2}{1-x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n}=4x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n}-1 \right)-4x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n}+\sum_{n=0}^{ \infty }{n \cdot 2^{n}x^n}+1+x-\frac{x^2}{1-x} \\

\sum_{n=0}^{ \infty }{2^nx^n}=\frac{1}{1-2x}\\
 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{2^nx^n} \right) =\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(  \frac{1}{1-2x} \right)\\
  \sum_{n=0}^{ \infty }{n2^nx^{n-1}}=-\frac{1}{\left( 1-2x\right)^2 }\left( -2\right)\\
 \sum_{n=1}^{ \infty }{n2^nx^{n-1}}=\frac{2}{\left( 1-2x\right)^2}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) 2^\left( n+1\right) x^{n}}=\frac{2}{\left( 1-2x\right)^2}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) 2^n x^{n}}=\frac{1}{\left( 1-2x\right)^2}\\

\sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n}=4x\sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n}-4x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n}+\frac{1}{\left( 1-2x\right)^2 }-\frac{1}{1-2x}+1-3x-\frac{x^2}{1-x}\\
B\left( x\right)\left( 1-4x+4x^2\right)=\frac{2x}{\left( 1-2x\right)^2 }+\frac{1-4x+2x^2}{1-x}\\
B\left( x\right)\left( 1-4x+4x^2\right)=\frac{2x\left( 1-x\right)+\left( 1-2x\right)^2\left(1-4x+2x^2 \right)    }{\left(1-2x \right)^2\left( 1-x\right)  }\\
B\left( x\right)=\frac{-6x+20x^2+1-24x^3+8x^4}{\left(1-2x \right)^4\left( 1-x\right)}\\
B\left( x\right)=3 \cdot  \frac{1}{1-2x}-\frac{1}{\left( 1-2x\right)^2 }-\frac{1}{\left( 1-2x\right)^3 }+\frac{1}{\left( 1-2x\right)^4 }-\frac{1}{1-x} \\
B\left( x\right)=3 \cdot  \frac{1}{1-2x}-\frac{1}{\left( 1-2x\right)^2 }- \frac{1}{2} \cdot  \frac{2}{\left( 1-2x\right)^3 }+ \frac{1}{6} \cdot  \frac{6}{\left( 1-2x\right)^4 }-\frac{1}{1-x} \\

b_{n}=\left(  \frac{1}{6}\left( n+1\right)\left( n+2\right)\left( n+3\right)-\frac{1}{2}\left( n+1\right)\left( n+2\right)-\left( n+1\right) +3    \right) \cdot 2^{n}-1\\
b_{n}=\frac{1}{6}\left(n^3+3n^2-4n+12 \right)\cdot 2^{n}-1\\

b_{n+2}=4b_{n+1}-4b_{n}+4\left( n+2\right)2^{n}-1

Rozwiązanie równania jednorodnego

b_{n+2}=4b_{n+1}-4b_{n}\\
b_{n+1}=a_{n}\\
\vec{b}_{n+1}= \begin{bmatrix} 4&-4 \\1&0  \end{bmatrix} \cdot \vec{b}_{n}\\ 
\det{\begin{bmatrix} 4-\lambda&-4 \\1&0-\lambda  \end{bmatrix}}=0\\
\left( 4-\lambda\right)\left( -\lambda\right)-\left( -4\right)=0\\
\lambda^2-4\lambda+4=0\\
\left(\lambda-2 \right)^2=0\\
 \begin{bmatrix} 2&-4 \\ 1&-2 \end{bmatrix}^2 \cdot  \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\
v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\\
v_{2}  \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\\
\vec{b}_{n}=A^{n}\vec{b}_{0}\\
A^{n}=\left( \left( A-\lambda I\right)+\lambda I \right)^{n}\vec{b_{0}}\\



\left( C_{1}+C_{2}n\right) \cdot 2^{n}

\varphi_{1}=2^{n}\\
\varphi_{2}=n2^{n}\\
\det{ \begin{bmatrix} 2^{n+1}&\left( n+1\right)2^{n+1}  \\ 2^{n+2}&\left( n+2\right)2^{n+2}  \end{bmatrix} }=\left( 8n+16\right)4^{n}-\left( 8n+8\right)4^{n}=8 \cdot 4^{n} \\
\det{ \begin{bmatrix} 0&\left( n+1\right)2^{n+1}  \\ 4\left( n+2\right)2^{n}-1&\left( n+2\right)2^{n+2}  \end{bmatrix} }=-8\left( n^2+3n+2\right)4^n+2\left( n+1\right)2^{n} \\
\det{ \begin{bmatrix} 2^{n+1}&0 \\2^{n+2}&4\left( n+2\right)2^{n}-1   \end{bmatrix} }=8\left( n+2\right)4^{n}-2 \cdot 2^{n} \\
\Delta C_{1}=-\left( n^2+3n+2\right) +\frac{1}{4}\left( n+1\right)\left(  \frac{1}{2} \right) ^{n}\\
 \Delta C_{2}=\left( n+2\right)-\frac{1}{4} \cdot \left(  \frac{1}{2} \right)^{n} \\
C_{1}=\left( a+ \sum_{k=0}^{n-1}{-\left( k^2+3k+2\right)}+\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{1}{4}\left( k+1\right)\left(  \frac{1}{2} \right) ^{k}} \right)\\
C_{2}=\left( b+ \sum_{k=0}^{n-1}{\left( k+2\right)}- \sum_{k=0}^{n-1}{\frac{1}{4} \cdot \left(  \frac{1}{2} \right)^{k}}  \right)\\

Do policzenia tych sum przydatne będą dolne silnie i sumowanie przez części

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

C_{1}\left( n\right) \cdot 2^{n}+C_{2}\left( n\right)n \cdot 2^{n}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 matematyka dyskretna  pyrak  2
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 [Matematyka dyskretna] Układy kongruencji  Anonymous  3
 egzamin matematyka dyskretna  dibo  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl