szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2016, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 5413
Lokalizacja: Kraków
Wyznaczyć f(e)= \min M, gdy e>0 jest ustalone ; tak aby;
a^3+b^3+c^3+d^3 \leq e^2(a^2+b^2+c^2+d^2) + M(a^4+b^4+c^4+d^4)
gdy a, b, c, d \in R
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2016, o 17:15 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Warszawa
Wstawiając a=x\in \mathbb{R}, b=c=d=0 dostajemy:
x^3\leq e^2x+Mx^4
Z drugiej strony jeżeli ta nierówność zachodzi, to kładąc za x=a,b,c,d\in \mathbb{R} otrzymujemy cztery nierówności, które po dodaniu do siebie dają:
a^3+b^3+c^3+d^3 \leq e^2 \left( a^2+b^2+c^2+d^2 \right)  + M \left( a^4+b^4+c^4+d^4 \right)
Stąd tak naprawdę wystarczy patrzeć na nierówność:
Mx^4-x^3+e^2x^2\geq 0
spełnioną dla x\in \mathbb{R}.
Po pierwsze zauważmy, że biorąc x\rightarrow +\infty widać, że M>0. Następnie piszemy:
Mx^4-x^3+e^2x^2=x^2 \left( Mx^2-x+e^2 \right) =x^2\left[  \left( \sqrt{M}x-\frac{1}{2\sqrt{M}} \right) ^2+e^2-\frac{1}{4M}\right]
Przy ustalonym e>0 nierówność:
x^2\left[  \left( \sqrt{M}x-\frac{1}{2\sqrt{M}} \right) ^2+e^2-\frac{1}{4M}\right]\geq 0
Jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy:
e^2-\frac{1}{4M}\geq 0
czyli gdy:
M\geq \frac{1}{4e^2}
Zatem f \left( e \right) =\frac{1}{4e^2}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcja z parametrem - zadanie 11  luqasz  5
 Funkcja potęgowa. Wyznaczyć x.  French  6
 2 zadania z nierównością  przemo940  4
 zadanie z nierównością - zadanie 4  Pkrewetka  1
 Funkcja EXP na kalkulatorze  bleze  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl