szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2016, o 08:29 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
W kostce [0,1]^3 wybieramy losowo punkt (a,b,c).
Wyznacz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

A: Trójkąt o bokach a+b,b+c,c+a ma boki 2a,2b,2c.
B.:Trójkąt o bokach 2a,2b,2c ma boki a+b,b+c,c+a.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2016, o 20:20 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
A: Z nierówności trójkąta sprawdzamy łatwo, że a+b, b+c, c+a są bokami pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy gdy a,b,c są wszystkie dodatnie.
Skoro boki dwóch trójkątów są takie same, to te trójkąty są przystające i możliwe są 3 przypadki:
1. a+b=2a. Stąd łatwo wynika, że a=b, a więc mamy a+c = b+c, czyli w konsekwencji 2b = 2c (nie wiadomo czy a+c=2b czy też b+c=2b, ale nie ma to znaczenia). W konsekwencji musi być a=b=c.
2. a+b = 2b. Przypadek całkowicie analogiczny do 1. Również dostajemy a=b=c.
3. a+b = 2c oraz b+c = 2a i c+a=2b (w przeciwnym razie dostajemy przypadek analogiczny do 1 lub 2). Bez utraty ogólności (dla układu równań, nie dla zadania), niech a będzie tutaj najmniejszą z liczb a,b,c. Z drugiego równania mamy:
2a = b+c \ge a+a = 2a zatem muszą zachodzić równości b=a i c=a co daje a=b=c.

Zatem zdarzenie A zachodzi pod warunkiem, że a=b=c>0. Mamy P\left(A\right) = 0.

W przypadku B zakładając, że 2a,2b,2c są bokami trójkąta, otrzymujemy dokładnie te same układy równań co w A. A więc rozumując analogicznie P\left( B\right) = 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2016, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
A jest OK (choć można było trochę prościej to zaargumentować).

Przypadek B, choć pozornie podobny, nie jest taki sam. Zauważ co napisałeś na początku ostatniego zdania :) (dlatego właśnie oprócz geometryczno-probabilistycznej jest to również zagadka logiczna)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2016, o 23:38 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Miałem to oczywiście na uwadze, że 2a,2b,2c muszą spełniać warunki na nierówność trójkąta, jednak świadomie odpuściłem to założenie (wziąłem je pod uwagę na koniec, jednak nie zmieniło to odpowiedzi).

PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2016, o 07:32 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tak naprawdę napisałes już ten argument w w punkcie 3. Jeżeli a jest najkrótszym bokiem, to równość 2a=p+q (gdzie p,q\in\{a,b,c\}, p\neq q implikuje p=q=a.

Natomiast w przypadku A prawdopodobieństwo nie jest zerowe własnie z powodu asymetrii założeń (pomyśl dlaczego :))
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2016, o 12:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1367
Lokalizacja: Katowice
bakala12 napisał(a):
PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A :D
patrzymy na sumę kwadratów boków i dostajemy równość (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 = (2a)^2+(2b)^2+(2c)^2 czyli po przegrupowaniu wyrazów 0=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 czyli a=b=c
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2016, o 12:30 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Cytuj:
Natomiast w przypadku A prawdopodobieństwo nie jest zerowe własnie z powodu asymetrii założeń (pomyśl dlaczego :))


Nic z tego nie rozumiem. Możesz jaśniej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2016, o 13:14 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zastanów się kiedy jest prawdziwe zdanie z punktu B
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2016, o 14:40 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Wtedy kiedy a,b,c >0 oraz spełniają warunki:
\begin{cases} a+b>c \\ b+c>a \\ c+a>b \end{cases}
Ponadto trójkąty o bokach 2a,2b,2c oraz a+b,b+c,c+a są przystające (ileś tam możliwych układów równań).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2016, o 14:59 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie. To zdanie jest prawdziwe również wtedy, gdy z odcinków nie da się ułożyć trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2016, o 15:08 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
No tak, z fałszu wynika wszystko. Ale łatwo się oszukałem :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2016, o 00:41 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
timon92 napisał(a):
bakala12 napisał(a):
PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A :D
patrzymy na sumę kwadratów boków i dostajemy równość (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 = (2a)^2+(2b)^2+(2c)^2 czyli po przegrupowaniu wyrazów 0=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 czyli a=b=c


Ładnie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2016, o 12:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Zaragoza
W punkcie b) dostajemy 50 procent szans na sukces, jeżeli nie pomyliłem się w rachunkach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2016, o 14:17 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
Santiago A napisał(a):
W punkcie b) dostajemy 50 procent szans na sukces, jeżeli nie pomyliłem się w rachunkach.


Szczerze mówiąc nie chciało mi się policzyć tych wszystkich włączeń/wyłączeń :oops:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcje logiczne [elementy techniki cyfrowej]  MCV  0
 Kwantyfikatory Zdania logiczne  yapeth  1
 Prawa logiczne, koniukcja, alternatywa - zadania  rafzig155  2
 Zdania logiczne  Anonymous  4
 Zdania logiczne - pytanie  lusia19900  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl