szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2016, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 1712
Lokalizacja: Kraków
Płaszczyzna S zawiera dwa punkty A\left( 1,-1,1\right) ,B\left( 2,1,2\right) oraz prostą przechodzącą przez punkt A o wektorze kierunkowym v ^{T}=\left[ 1,0,2\right]. Prosta L przechodzi przez punkty C\left( 2,0,1\right),D\left( 3,3,5\right).
c)Określić czy prosta L jest równoległa do płaszczyzny S czy ją przecina.
d)Wyznaczyć równanie normalne płaszczyzny S _{1} prostopadłej do prostej L i przechodzącej przez A.

Głównie chodzi mi o podpunkt c). W d) to chyba wektorem normalnym płaszczyzny będzie wektor kierunkowy prostej L i trzeba potem jeszcze podstawić współrzędne punktu A. Z tego mi wyszła płaszczyzna x+3y+4z-2=0. Dobrze? A jak punkt c)?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2016, o 22:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Wektor v^{T} oraz wektor wyznaczony przez punkty A i B rozpinają Twoją płaszczyznę. Musisz sprawdzić czy wektor kierunkowy Twojej prostej L jest kombinacją liniową wektorów na których rozpięta jest płaszczyzna (wystarczy policzyć np. rząd odpowiedniej macierzy). Jeżeli tak - to prosta jest równoległa do płaszczyzny. Jeżeli nie to musi ją przecinać.

Podpunkt d) jest okej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2016, o 22:59 
Użytkownik

Posty: 1712
Lokalizacja: Kraków
A nie wystarczyłoby rozwiązać równanie:
\alpha\left[ \begin{array}{c}1\\2\\1\\\end{array}\right]+\beta\left[ \begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}1\\3\\4\\\end{array}\right]
??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2016, o 23:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
No możesz też w ten sposób policzyć, ale to jest dłuższa metoda. Mógłbyś policzyć po prostu rząd macierzy utworzonej z tych wektorów - jeżeli wyjdzie równy 2, to prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeżeli wyjdzie równy 3 to znaczy, że ją przecina.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2016, o 03:17 
Użytkownik

Posty: 15098
Lokalizacja: Bydgoszcz
Możesz też policzyć odległości obu punktów od plaszczyzny.

-- 21 lip 2016, o 02:19 --

Albo sprawdź, czy wektor CDjest prostopadły do wektora normalnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2016, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 1712
Lokalizacja: Kraków
czyli rząd tej macierzy:

rz\left[ \begin{array}{ccc}1&1&1\\2&0&3\\1&2&4\\\end{array}\right] ?? Jest równy 3 zatem się przecinają?

A jeśli byśmy chcieli znaleźć punkt przecięcia? 3 punkty powinny nam jednoznacznie określać płaszczyznę, ale we wzorze na płaszczyznę są 4 niewiadome, jak sobie zatem z tym poradzić?
Bo jeśli byśmy znali równanie płaszyzny to można by podstawić równanie paramtryczne prostej do płaszczyzny i obliczyć punkt przecięcia.

A jak obliczyć odległość punktu od płaszczyzny?

A tą prostopadłość wektorów CD i normalnego to chyba z iloczynu skalarnego da się policzyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2016, o 13:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Tak, ponieważ rząd wyszedł 3 zatem płaszczyzna z prostą się przecinają.

3 punkty z Twojej płaszczyzny wyznaczają dwa wektory na których jest ona rozpięta. Wyliczając ich iloczyn wektorowy dostaniesz wektor prostopadły do nich, czyli wektor normalny płaszczyzny (zatem bedziesz miał współczynniki A,B,C ze wzoru Ax+By+Cz+D=0). Współczynnik D znajdziesz wstawiając do swojego równania jeden z tych punktów.

Jeżeli chodzi o punkt przecięcia to jest kilka sposobów w zależności od tego w jakiej postaci zapiszesz sobie tę płaszczyznę i prostą (możesz podzielić się rachunkami).

Odległość punktu (x_0,y_0,z_0) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 liczy się ze wzoru d = \frac{|A\cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Dwa wektory są prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny wynosi 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2016, o 23:45 
Użytkownik

Posty: 1712
Lokalizacja: Kraków
A jeśli tą macierz byśmy ustawiali poziomo? W sensie wektory byłyby zapisywane poziomo.

rz\left[ \begin{array}{ccc}1&2&1\\1&0&2\\1&3&4\\\end{array}\right]

? To rząd też normalnie wtedy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2016, o 09:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Tak, rząd tak czy siak nam się nie zmieni bo rz A = rz A^T.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzajamne położenie prostych  Srodus  6
 Położenie 2. płaszczyzn  Mateo14  1
 wyznacz równania prostych, długości odcinków  davido15  1
 Wzajemne położenie dwóch okręgów.  gerla  1
 Wzajemne położenie okręgu i prostej.  Dyjmar  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl