szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2016, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Bydgoszcz
Witam Państwa.

Mam rozwiązać następujące równanie: x_{n+2}=2x _{n+1}-2x _{n}. Potrafię doprowadzić je do postaci, w której miejscami zerowymi są liczby zespolone x_{1}=1-i i x _{2}=1+i, lecz dalej nie wiem co mam zrobić. Prowadzący zajęć powiedział mi, że należy zastosować funkcje trygonometryczne, ale musiałem coś najwyraźniej na zajęciach opuścić, ponieważ nie mam pojęcia w jaki sposób mam to zrobić. Mogę liczyć na pomoc z waszej strony? :(
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2016, o 12:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Wtedy mamy rozwiązanie x_n = C_1 (1-i)^n + C_2 (1+i)^n.
A wiemy jak się potęguje szybko liczby zespolone?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 lip 2016, o 12:50 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Bydgoszcz
I dochodzę do momentu, w którym mam:
\sqrt{2}^{n}*\left( C_{1}\left( cosn \frac{7}{4} \pi + isinn \frac{7}{4} \pi   \right) +  C_{2}  \left( cosn \frac{1}{4} \pi + isinn \frac{1}{4} \pi   \right)  \right)
Jak mam to dalej rozwiązać? Nie mam podanego żadnego n dla którego mam obliczyć, więc de Moivre'a nie mogę tak po prostu zastosować.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 lip 2016, o 13:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Zakładam, że dobrze policzyłeś te potęgi.
Ale co chcesz dalej rozwiązywać? Skoro masz podać wzór ciągu, to w tym wzorze musi występować zmienna n. Dostajesz, że poszukiwany ciąg to x_n = \sqrt{2}^{n}*\left( C_{1}\left( \cos\frac{7n \pi}{4}  + i\sin\frac{7n \pi}{4}  \right) + C_{2} \left( \cos \frac{n \pi}{4} + i\sin\frac{n \pi}{4}\right) \right)

Musisz te liczby zespolone podnieść do potęgi n, a ze wzoru de Moivre'a wiemy, że dla dowolnego n zachodzi z^n = |z|^n \cdot \left( \cos(n \phi) + i \sin(n \phi) \right). Nie musisz mieć podanej konkretnej wartości aby korzystać z tego wzoru.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ilość różnowartościowych niemonotonicznych funkcji.  Anonymous  2
 Liczba funkcji oraz relacji.  Emiel Regis  4
 Różnowartościowość funkcji.  no name  4
 Ile jest funkcji zbioru w ten sam zbiór, takich że..  Krowax  3
 współczynnik x^n w funkcji tworzącej  bagienny  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl