szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2016, o 11:36 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Zabrze
Witam.
Na początku z góry pragnę przeprosić, że umieściłem temat w niewłaściwym dziale. Na Forum bywam niestety rzadko i nie znam go dobrze, dlatego nie udało mi się znaleźć właściwego dla tematu nierówności działu.
No a teraz przejdźmy do problemu o który mi chodzi. Otóż są wakacje i poszedłem do biblioteki wypożyczyć coś lekkiego do czytania. Jak to w życiu bywa do domu wróciłem z "bardzo lekką" książką Słynne Nierówności Lva Kourliandchika. Już na stronie 12 (Co nie za dobrze o mnie świadczy :\) napotkałem problem z którym nie mogę sobie jakoś poradzić. Chodzi o metodę sprawdzania prawdziwości nierówności, którą autor przytacza. Oto ona:
\frac{a^2 \cdot b}{c} +  \frac{b^2 \cdot c}{a} + \frac{c^2 \cdot a}{b} \ge a^2 + b^2 + c^2
\left( a>0, b>0, c>0 \right)
Żeby udowodnić nierówność autor próbuje znaleźć takie liczby nauralne x, y ,z dla których zachodzą nierówności:
x \cdot  \frac{a^2 \cdot b}{c} +y \cdot  \frac{b^2 \cdot c }{a} +z \cdot  \frac{c^2 \cdot a}{b}  \ge  \left( x+y+z \right) a^2
y \cdot  \frac{a^2 \cdot b}{c}  +z \cdot  \frac{b^2 \cdot c }{a} +x \cdot  \frac{c^2 \cdot a}{b}   \ge  \left( x+y+z \right) b^2
z \cdot  \frac{a^2 \cdot b}{c} +x \cdot  \frac{b^2 \cdot c }{a} +y \cdot  \frac{c^2 \cdot a}{b}  \ge  \left( x+y+z \right) c^2

Następnie autor korzysta z nierówności pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną:
x \cdot  \frac{a^2 \cdot b}{c} +y \cdot  \frac{b^2 \cdot c }{a} +z \cdot  \frac{c^2 \cdot a}{b}  \ge  \left( x+y+z \right)  \cdot   \sqrt[x+y+z]{ \left( \frac{a^2 \cdot b}{c} \right) ^x  \cdot    \left( \frac{b^2 \cdot c}{a} \right) ^y  \cdot   \left( \frac{c^2 \cdot a}{b} \right) ^z}

\sqrt[x+y+z]{ \left( \frac{a^2 \cdot b}{c} \right) ^x  \cdot    \left( \frac{b^2 \cdot c}{a} \right) ^y  \cdot   \left( \frac{c^2 \cdot a}{b} \right) ^z}= a^2

Podobną równość autor otrzymuje także z dwóch pozostałych nierówonści.
Szukając odpowiednich liczbx,y,z autor otrzymuje z nich układ równań, który okazuje się sprzeczny. Autor stwierdza więc, że wyjściowa nierówność jest fałszywa(!). I tego nie rozumiem. Jeżeliby dowód powiódłby się wtedy wyjściowa nierówność byłaby prawdziwa i to rozumiem, jednak dlaczego brak skuteczności tego dowodu oznacza fałszywość nierówności? Na jakiej podstawie autor sądzi, że prawdziwość wyjściowego równania warunkuje prawdziwość tych trzech innych nierówności. Zauważyłem, że ich "suma" a następnie obustronne podzielenie przez (x+y+z) daje wyjściową nierówność, więc jeśliby wszystkie 3 były prawdziwe to i wyjściowa nierówność byłaby prawdziwa. Jednak nie dostrzegam tej zależności w "drugą stronę" tzn że jeśli wyjściowa nierówność jest prawdziwa to te 3 także muszą być. Nie wiem także czemu liczby x,y,z muszą być naturalne a nie wystarczy by ich suma była dodatnia, tak żeby po podzieleniu nie zmieniał się kierunek nierówności.
Wiem że post jest OGROMNIE długi ale będę wdzięczny jeśli komuś zechce się go przeczytać i może rozwiać moje wątpliwości.
Pozdrawiam Roman
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2016, o 12:55 
Użytkownik

Posty: 12578
Lokalizacja: Bydgoszcz
a=b=c wskazuje, że nierównośc jest prawdziwa.

Ponadto ustalająć a i b i biorąć c bliske zeru możemy uczynić lewą sronę dowolnie dużą, więc nierównośc też zajdzie.

Oczywiście fakt, że dowód sie nie powiódł nie świadczy o ty, że teza nie zachodzi.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sie 2016, o 13:11 
Użytkownik

Posty: 1225
Nie zajdzie np. dla a=4c,\ b=\frac{c}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2016, o 14:35 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Zabrze
a4karo to że podasz jeden przykład nie oznacza że dla dowolnych a,b,c (tylko jeden warunek bycia dodatnim je ogranicza) nierówność będzie prawdziwa
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2016, o 16:16 
Użytkownik

Posty: 12578
Lokalizacja: Bydgoszcz
OK, żle zrozumiałem intencje autora rozwiązania.

Skąd wziąłeś ostatnią równość?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2016, o 16:41 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Zabrze
Jak widzisz w ostatniej nierówności, autor zamiast a^2 podstawił ten duży pierwiastek (średnia geometryczna) , więc wywnioskował że x,y,z muszą mieć taką wartość, że średnia geometryczna jest równa a^2. Gdyż wtedy będzie spełniona ostatnia nierówność.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sie 2016, o 23:32 
Użytkownik

Posty: 1225
Sama dodatnia suma nie wystarczy, bo nie byłyby spełnione warunki stosowania AM-GM. Wagi nie mogą być ujemne. Oczywiście wygodniej byłoby znormalizować, aby x+y+z=1. Nie wiem, jak dokładnie jest w książce, ale do mnie również nie przemawia przedstawiona argumentacja. Jeden kontrprzykład załatwiłby sprawę.

Nb. nierówność jest prawdziwa dla boków trójkąta, bo mamy

L-P=\\ \\ \frac{a^2(c-b)^2(a+c-b)+b^2(a-c)^2(b+a-c)+c^2(b-a)^2(c+b-a)}{2abc}\ge 0
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sie 2016, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 1225
Darn, robiłam już kiedyś tę nierówność: 401716.htm#p5405692
Tym razem wyszło zgrabniej. :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem z rozłożeniem na czynniki wielomianu.  infeq  13
 Problem z obliczeniami  nemo  17
 Problem z potęgami - zadanie 5  myther  3
 Problem z x  kasiaba  12
 mały pierwiastkowy problem  dzoanka  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl