szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 sie 2016, o 20:31 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Sosmowiec
Rozwiązać poniższe równanie rekurencyjne (najlepiej wykorzystując funkcje tworzącą):

\left\{\begin{array}{l} T(0)=0\\T(1)=1\\T(n)=T(n-1)-2T(n-2) \end{array}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2016, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 992
Najszybciej metodą równania charakterystycznego:
t^2-t+2=0 \\
t_1=\frac{1}{2}(1-t\sqrt{7}) \\
t_2 = \frac{1}{2}(1+t\sqrt{7})

Wtedy: T(n)=c_1 \left( \frac{1}{2}(1-t\sqrt{7})\right)^n + c_2 \left(  \frac{1}{2}(1+t\sqrt{7})\right)^n.

Stałe c_1,c_2 wyznaczamy z wartości T(0), T(1).

Natomiast z funkcji tworzących jest trudniej, zdecydowanie bardziej skomplikowane. Zarys poniżej, mam nadzieję, że bez pomyłki, nie mniej jednak nie mam pewności.

f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}T(n)x^n=T(0)+T(1)x+\sum\limits_{n=2}^{\infty}T(n)x^n=\\
x+\sum\limits_{n=2}^{\infty}(T(n-1)-2T(n-2))x^n=x+\sum\limits_{n=2}^{\infty}T(n-1)x^n-2\sum\limits_{n=2}T(n-2)x^n=
x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}T(n)x^{n+1}-2\sum\limits_{n=0}^{\infty}T(n)x^{n+2}=
x+x\sum\limits_{n=1}^{\infty}T(n)x^n-2x^2f(x)= \\
x+x\sum\limits_{n=0}^{\infty}T(n)x^n-2x^2f(x)-=x+xf(x)-2x^2f(x)=x+f(x)(x-2x^2)

A stąd już:
f(x)=x+f(x)(x-2x^2) \\
-x=f(x)(-2x^2+x-1) \\
f(x)=\frac{x}{2x^2-x+1}

I wtedy ostatnią funkcję należy rozpisać w szereg.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2016, o 21:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
G\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}x^n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n}x^n}=\sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n-1}x^n}-\sum_{n=2}^{ \infty }{2T_{n-2}x^n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n}x^n}=x\sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n-1}x^{n-1}}-2x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n}x^n}=x\sum_{n=1}^{ \infty }{T_{n}x^{n}}-2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}x^n}-x=x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }{T_{n}x^{n}}-0 \right) -2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}x^{n}}\\
G\left( x\right)-x=xG\left( x\right)-2x^2G\left( x\right)  \\
G\left( x\right)\left( 1-x+2x^2\right)=x\\
G\left( x\right)=\frac{x}{1-x+2x^2}\\
G\left( x\right)=\frac{x}{\left( 1-\frac{x}{2}\right)^2+\frac{7}{4}x^2 }\\
G\left( x\right)=\frac{x}{\left( 1-\left(  \frac{1- \sqrt{7}i }{2} \right)x \right)\left( 1-\left(  \frac{1+ \sqrt{7}i }{2} \right)x \right) }\\
G\left( x\right)=\frac{ \sqrt{7} }{7}i \cdot  \frac{1}{1-\left(  \frac{1- \sqrt{7}i }{2} \right)x}-\frac{ \sqrt{7} }{7}i \cdot  \frac{1}{1-\left(  \frac{1+ \sqrt{7}i }{2} \right)x} \\
T_{n}= \frac{ \sqrt{7} }{7}i\left(  \frac{1- \sqrt{7}i }{2} \right)^{n}-\frac{ \sqrt{7} }{7}i\left(  \frac{1+ \sqrt{7}i }{2} \right)^{n} \\

Jeśli chcesz mieć funkcje o argumentach rzeczywistych to
skorzystaj ze wzoru de Moivre
Tutaj kąt funkcji trygonometrycznych będzie wyrażony za pomocą funkcji cyklometrycznej

Co do funkcji tworzącej to dobry wybór
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 sie 2016, o 22:43 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Sosmowiec
Dziękuję za odpowiedzi :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie rekurencyjne - zadanie 2  matteuszek  4
 Równanie rekurencyjne - zadanie 3  skony  1
 Równanie rekurencyjne - zadanie 4  King James  15
 Równanie rekurencyjne - zadanie 6  pokoj  1
 rownanie rekurencyjne  coldrain  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl