szukanie zaawansowane
 [ Posty: 21 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 6 sie 2016, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
W trójkącie ostrokątnym ABC punkty E i F należą odpowiednio do boków AC i AB oraz spełniają warunek BF+CE=EF. Wykaż, że jeżeli \angle ABC = \angle AEF, to środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC należy do odcinka EF.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 6 sie 2016, o 17:27 
Użytkownik

Posty: 391
Lokalizacja: Wrocław
Niech E', \ F' będą obrazami punktów E, \ F w symetrii względem dwusiecznej \angle BAC. Oczywiście E'F'=E'B+F'C. Wybierzmy na prostej E'F' taki punkt I, że IE'=E'B. Z racji tego, że \angle AE'F'=\angle AEF=\angle ABC, zatem \triangle E'IB jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie równych \frac{\pi - \pi + \angle ABC}{2}=\frac{\angle ABC}{2}, skąd wynika, że I leży na dwusiecznej \angle ABC. Analogicznie wykazujemy, że I leży na dwusiecznej \angle ACB, zatem I jest środkiem okręgu wpisanego w \triangle ABC.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 7 sie 2016, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Udowodniłeś że I leży na dwusiecznej ABC ale nie leży na dwusiecznej BAC, wiec lipny ten dowód.

-- 7 sie 2016, o 21:39 --

Czy jest ktoś w stanie zrobić to zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 7 sie 2016, o 22:55 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
oraz spełniają warunek BF+CE=EF należy tu wykorzystać bo jest on tu warunkiem koniecznym.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 11:32 
Użytkownik

Posty: 391
Lokalizacja: Wrocław
Strike napisał(a):
Udowodniłeś że I leży na dwusiecznej ABC ale nie leży na dwusiecznej BAC, wiec lipny ten dowód.

-- 7 sie 2016, o 21:39 --

Czy jest ktoś w stanie zrobić to zadanie?


To zadanie jest zrobione. Pokazałem, że I leży na dwusiecznej \angle ABC, \ \angle ACB, a z tego wynika, że I leży na dwusiecznej \angle BAC.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 12:23 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Przeciez Ty wybrałeś sobie jakiś punkt I leżący na prostej E ^{\prime}  F^{\prime} a punkt I ma leżeć na prostej EF. Poza tym wogóle nie wykorzystałeś informacji o długości boków, a bez tej informacji nie da sie zrobić tego zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 12:26 
Użytkownik

Posty: 391
Lokalizacja: Wrocław
No skoro ten punkt leży na E'F', to leży on również na EF, bo w symetrii na siebie przechodzi. No i tę informację wykorzystałem- inaczej nie pokazałbym, że I leży na dwusiecznej \angle ACB.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 12:27 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Nigdzie nie jest pokazane że ten przez Ciebie wybrany punkt leży na dwóch prostych
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 12:28 
Użytkownik

Posty: 391
Lokalizacja: Wrocław
No to jest akurat oczywiste, skoro leży on na dwusiecznej, a rozważasz symetrię względem niej :P
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
A gdzie jest napisane ze on leży na dwusiecznej BAC?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 12:31 
Użytkownik

Posty: 391
Lokalizacja: Wrocław
No to już napisałem. Skoro leży on na dwusiecznych \angle ABC, \ \angle ACB, to jest on środkiem okręgu wpisanego, więc leży na tej dwusiecznej.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 12:36 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Rozpatrujesz symetrie względem dwusiecznej BAC, wiec niby z jakiej racji jest oczywiste ze I jest na dwusiecznej ABC?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 12:42 
Użytkownik

Posty: 391
Lokalizacja: Wrocław
To udowodniłem w rachunku na kątach w pierwszym poście. Analogicznym rachunkiem pokazuję, że I leży na dwusiecznej \angle ACB, a mogę zrobić to tylko dlatego, że mam założenie EF=BF+CE.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
W takim razie proszę napisz raz jeszcze swoje rozwiązanie tylko że dokładniej, bo być może go nie rozumiem
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Środek okręgu
PostNapisane: 8 sie 2016, o 13:44 
Użytkownik

Posty: 391
Lokalizacja: Wrocław
Definiujemy E', \ F' jako odbicia punktów E, \ F względem dwusiecznej \angle BAC. Skoro mieliśmy EF=CE+BF, to E'F'=BE'+CF', gdyż EF'=FE'. Obieramy na E'F' punkt I, taki, że BE'=IE'. Ponieważ \angle AE'F'=\angle AEF=\angle ABC, czyli E'F' \parallel BC. Ponadto \triangle E'BI jest równoramienny, a \angle BE'I=\pi - \angle ABC, więc \angle E'BI= \angle BIE' = \frac{\angle ABC}{2}. Z powodu zauważonej równoległości widzimy jednak, że \angle E'BI=\frac{\angle ABC}{2}= \angle CBI, czyli I leży na dwusiecznej \angle ABC. Zauważmy teraz, że IF'=F'C, zatem rozumując analogicznie, dostajemy, że I leży na dwusiecznej \angle ACB, czyli I jest środkiem okręgu wpisanego w \triangle ABC \Rightarrow leży na dwusiecznej \angle BAC \Rightarrow jest punktem stałym w symetrii względem dwusiecznej tego kąta \Rightarrow I \in EF
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 21 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Środek okręgu - zadanie 11  Petermus  1
 Srodek okregu  backspin  2
 środek okręgu - zadanie 6  an1715iii  3
 Środek okręgu  kaczucha  1
 Środek okręgu - zadanie 16  Narufirefox  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl