szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2016, o 16:50 
Użytkownik

Posty: 5471
Lokalizacja: Kraków
Udowodnić, że \sqrt{ab} < \frac{a-b}{\ln(a)-  \ln(b)} < \frac{a+b}{2} gdy 0<a <b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2016, o 17:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17733
Lokalizacja: Cieszyn
Prawa nierówność wynika natychmiast z nierówności Hermite'a-Hadamarda zastosowanej do funkcji wypukłej f(t)=\frac{1}{t} (w przedziale (0,\infty).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2016, o 17:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10285
Lokalizacja: Wrocław
Lewa nierówność: równoważnie mamy
\ln(b)-\ln(a)< \frac{b-a}{\sqrt{ab}}, czyli
\ln\left(  \frac{b}{a} \right)< \sqrt{ \frac{b}{a} }- \sqrt{ \frac{a}{b} }
Podstawmy t= \sqrt{ \frac{b}{a} }. Nierówność przyjmuje formę:
2 \ln (t) <t- \frac{1}{t} dla t \in \RR^+, t>1
Rozpatrzmy funkcję g(t)=t- \frac{1}{t}-2\ln(t). Mamy g(1)=0
oraz g'(t)=1+ \frac{1}{t^2}- \frac{2}{t}=\left( 1- \frac{1}{t} \right)^2>0 dla t>1. Stąd dla t>1 funkcja jest rosnąca, czyli w połączeniu z g(1)=0 widać, że dla wszystkich t>1 mamy
g(t)>0, co kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2016, o 18:00 
Użytkownik

Posty: 12916
Lokalizacja: Bydgoszcz
A lewa strona to lewa strona tejże nierówności H-H użyta do funkcji wykładniczej (wstaw a=e^p, b=e^q)).

Jak ciekawostkę dodam, że z prawej strony zamiast arytmetycznej można wziąć średnia potegowa rzędu 1/3 (ale nie mniejszą) a lewej strony średnimi potegowymi się poprawić nie da.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2016, o 18:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1369
Lokalizacja: Katowice
dla dowolnego a<t<b mamy \frac{2}{a+b} \le \frac 1t + \frac 1{b+a-t} - to jest nierówność między średnimi (HM-AM) tudzież wypukłość funkcji t \mapsto \frac 1t

przeto (a-b) \cdot \frac{2}{a+b} = \int_a^b \frac{2}{a+b} \mbox dt  \le \int_a^b \frac 1t + \frac 1{b+a-t} \mbox dt = 2 \int_a^b \frac 1t \mbox dt = 2(\ln b - \ln a)

po małych roszadach otrzymujemy \frac{a-b}{\ln a - \ln b} \le \frac{a+b}{2}

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

dla dowolnego t mamy \exp\left(\frac{x+y}2\right) \le \frac{\exp(t) + \exp(x+y-t)}{2} - to jest nierówność między średnimi (GM-AM) tudzież wypukłość funkcji \exp

przeto (\ln b - \ln a)\sqrt{ab} = \int_{\ln a}^{\ln b}\exp\left(\frac{\ln b + \ln a}{2}\right)\mbox dt \le \int_{\ln a}^{\ln b} \frac{\exp(t) + \exp(x+y-t)}{2} \mbox dt = \int_{\ln a}^{\ln b} \exp(t) \mbox dt = \exp(\ln b) - \exp(\ln a) = b - a

po małych roszadach otrzymujemy \sqrt{ab} \le \frac{a-b}{\ln a - \ln b}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność między średnią harmoniczną i geometryczną  Marcinek665  2
 Srednia arytmetyczna - zadanie 9  Artzak  1
 Średnia ważona/arytmetyczna  Zakary  2
 Srednia geometryczna - algorym  scorcher  2
 Dowodzenie nierówności - średnia  wicherkowa  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl