szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sie 2016, o 00:25 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Miasto
Wiem, że to zadanie prawdopodobnie już ty było, ale chciałbym, żeby ktoś wytłumaczył od a do z i najlepiej wszystkimi możliwymi sposobami rozwiązania tego.Jak i przy wykorzystaniu najcięższych wzorów, jak i najlżejszych.

Ośmiokąt foremny umieszczono w układzie współrzędnych, gdzie środkiem figury jest punkt (0;0). Na rysunku jest podany punkt P(1,0), który jest środkiem boku AH.
a) Oblicz długość boku tego ośmiokąta
b) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta POA oraz kąta POC.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sie 2016, o 01:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13199
Lokalizacja: Wrocław
Narysuj sobie ten ośmiokąt foremny, podziel go na osiem przystających trójkątów równoramiennych sklejonych wierzchołkiem w (0,0) i policz kąty. Dorysuj sobie wysokość trójkąta o podstawie AH, opuszczoną na punt P.
No i mogą się przydać wzory na funkcje trygonometryczne kątów połówkowych:
ponieważ \sin^{2} \alpha= \frac{1-\cos (2\alpha)}{2} oraz
\cos^{2} \alpha= \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} (wystarczy poprzekształcać wzór na cosinus podwojonego kąta z użyciem jedynki trygonometrycznej, by do tego dojść), to
w zależności od znaku mamy
\ctg \alpha=+/- \sqrt{  \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}=+/- \sqrt{ \frac{1+\cos(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)} }
(oczywiście dla \alpha \neq k\pi, k \in \ZZ)
Stąd i z rysunku np. masz \frac{\frac{1}{2}|AH|}{|OP|}=\frac{1}{2}|AH|=\ctg 67,5^{\circ}= - \sqrt{ \frac{1+\cos 135^{\circ}}{1-\cos 135^{\circ}} }, mnożysz to stronami przez 2,
obliczasz ze wzorów redukcyjnych, że \cos 135^{\circ}=-\cos 45^{\circ}=- \frac{\sqrt{2}}{2}, wstawiasz i masz podpunkt a).
b) spróbuj zrobić sam. Z rozważań dotyczących a) i proporcji masz już wartości dla POA,
a co do POC, to jest to trójkąt o kącie przy POC równym 112,5^{\circ} i boku PO długości 1 oraz PC długości
\frac{1}{\sin 67,5^{\circ}}=...
(ale syf).

-- 11 sie 2016, o 01:28 --

Mam wrażenie, że to jest bardzo niesprytne rozwiązanie, ale za bardzo objadłem się szarlotką, którą osobiście przyrządziłem i nie mogę jasno myśleć (tzn. zwykle nie mogę jasno myśleć, bo jestem kretynem z matematyki, ale teraz jeszcze bardziej).

-- 11 sie 2016, o 01:35 --

A może lepiej byłoby na to spojrzeć tak, że łącząc środki boków ośmiokąta danego w treści, dostajemy drugi ośmiokąt foremny, ten też dzielimy na trójkąciki równoramienne o kącie przy (0,0) równym 45^{\circ} i równych bokach po 1, długość podstawy jednego takiego trójkącika obliczamy łatwo z twierdzenia cosinusów i mamy trójkąt równoramienny np.
PAP_1, gdzie P_1 to środek boku AB ośmiokąta foremnego z treści zadania, o kącie przy wierzchołku A równym oczywiście 135^{\circ} i podstawie obliczonej uprzednio z tw. cosinusów jako bok tego wpisanego ośmiokąta foremnego.
No i wtedy nie trzeba się bawić w a) kątami połówkowymi.
Tak dawno nie robiłem niczego z geometrii, że na pewno tutaj stworzyłem jakąś herezję typu trójkąt o czterech bokach, ale nie mogę tego dostrzec.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sie 2016, o 08:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6643
Inaczej:
a)
\frac{a}{2}+ \frac{a \sqrt{2} }{2}=1\\
a=2 \sqrt{2}-2
b)
A=\left( 1, \sqrt{2}-1 \right) \\
B=\left(  \sqrt{2}-1 ,1\right)\\
C=\left( 1- \sqrt{2},1 \right)

Kąt można wyznaczyć z iloczynu skalarnego lub, dzięki fortunnemu położeniu punktów P i O, z:
\sin  \alpha = \frac{y}{r}, \  \cos \alpha = \frac{x}{r}, \  \tan\alpha = \frac{y}{x}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ośmiokąt problem z prawidłowym narysowaniem  jara&mara  2
 Sześciokąt foremny - tw. cosinusa problem....  Dreamer1x6xX  5
 Czworościan foremny rozpięty na wektorach  marcin12-02  1
 Iloczyn skalarny- sześciokąt foremny  FEMO  3
 sześciokąt foremny na płaszczyźnie  monti  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl