szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2016, o 22:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 283
Wykaż, że liczba \sqrt[5]{41 + 29 \cdot  \sqrt{2}} +  \sqrt[5]{ 41 - 29 \cdot \sqrt{2}} jest wymierna. Nie mogę tego rozwiązać żadną metodą, proszę o pomoc .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2016, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 706
Sprowadź wyrażenia podpierwiastkowe do piątych potęg
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2016, o 22:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 283
Nie wiem czy wiesz ale sprowadzenie podobnego wyrażenia tylko, że przy pierwiastkach drugiego stopnia wymaga obliczenia już równania czwartego stopnia nie wspominając już o pierwiastku trzeciego stopnia a co dopiero czwartego czy piątego, w innych przypadkach to tylko strzelanie czym może być taka suma a może to być praktycznie wszystkim więc no nie wiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2016, o 23:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10237
Lokalizacja: Wrocław
Wskazówka:
(1+\sqrt{2})^5= \dots \\(1-\sqrt{2})^5=\dots
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2016, o 23:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 283
No ok, a jak w innym przypadku nie uda mi się strzelić, że to tyle właśnie ? Właśnie chodzi mi o sposób niż takie "strzelanie" .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2016, o 23:07 
Użytkownik

Posty: 706
Można rozłożyć:
(a\pm b\sqrt{2})^5=(a^4+20a^2b^2+20b^4)a\pm (5a^4b+20a^2b^3+4b^5)\sqrt{2}

Zauważamy, że jak podstawimy a=1,b=1 to uzyskamy 41\pm 29\sqrt{2}

Zatem \sqrt[5]{41+29\sqrt{2}}+\sqrt[5]{41-29\sqrt{2}}=\sqrt[5]{(1+\sqrt{2})^5}+\sqrt[5]{(1-\sqrt{2})^5}=1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2016, o 23:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3365
Lokalizacja: Krk
41 + 29 \sqrt{2} = \left( a+b\sqrt{2}\right)^5 = a^5 + 5a^4b \sqrt{2} + 10a^3b^2\cdot 2 + 10a^2b^3\cdot 2\sqrt{2} + 5ab^4\cdot4 + b^5 \cdot 4\sqrt{2}
\\
 \begin{cases} a^5+20a^3b^2+20ab^2=41 \\ 5a^4b+20a^2b^3 + 4b^5 =29\end{cases}

A stąd już nie problem zgadnąć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2016, o 23:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10237
Lokalizacja: Wrocław
Oznaczmy: \sqrt[5]{41 + 29 \cdot \sqrt{2}}=x,  \sqrt[5]{ 41 - 29 \cdot \sqrt{2}}=y. Wówczas widzimy, żexy= \sqrt[5]{1681-1682}=-1, czyli y=- \frac{1}{x}.
Widzimy, że x^5+y^5=x^5- \frac{1}{x^5}=82 jest wymierne, no i
x^5- \frac{1}{x^5}=\left( x-\frac 1 x\right)\left( x^4+x^2+1+ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} \right)=\left( x-\frac 1 x\right)\left( \left( x-\frac 1 x\right)^4+5\left( x-\frac 1 x\right)^2+5  \right)
Podstawiając w tym x^5- \frac{1}{x^5}=82, zgodnie z warunkami zadania,
a następnie t=x-\frac 1 x, dostajemy, że nasza liczba jest pierwiastkiem rzeczywistym wielomianu
W(t)=t^5+5t^3+5t-82=(t-2)(t^4+2t^3+9t^2+18t+41) [skorzystałem z tw. o pierwiastkach wymiernych i tw. Bezouta], a ponadto jest liczbą dodatnią, gdyż dla x>1 mamy x> \frac{1}{x}, a więc łatwo widać, że jest ona równa 2, c.k.d.
:lol: :lol: :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sie 2016, o 10:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 283
No to już lepsze jest.

-- 18 sie 2016, o 11:02 --

Taki przykład: "Wykaż, że liczba \sqrt[5]{1011200 + 245248 \cdot \sqrt{17}} + \sqrt[5]{1011200 - 245248 \cdot \sqrt{17}} jest liczbą wymierną" już można rozwiązać tym sposobem, a tamtymi nie : D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sie 2016, o 17:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3365
Lokalizacja: Krk
Tylko jest mały szczegół, będziesz musiał rozłożyć sobie wielomian. Chętnie zobaczyłbym czy to jest takie proste.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sie 2016, o 22:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 283
Robiłem ten przykład dzisiaj, wiele więcej nie zajęło czasu pokazanie co jest pierwiastkiem wielomianu (było 20 czyli musiałem sprawdzić kilka innych liczb) jeśli o to Ci chodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sie 2016, o 23:43 
Użytkownik

Posty: 551
Lokalizacja: Polska
Można to rozwiązać metodą Cardana dla równań:
x=\sqrt[n]{a + \sqrt{b}} + \sqrt[n]{ a - \sqrt{b}}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaż, że liczba jest wymierna  zduni  4
 Wykaż, że liczba jest wymierna - zadanie 2  misia99  3
 Co to jest liczba kolista??  Anonymous  12
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni  magik100  2
 Udowodnić, że 0 jest większe od 3.  Hetacz  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl