szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sie 2016, o 15:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Zaragoza
Niech f(n) oznacza liczbę sposobów na które można zapisać liczbę jako sumę potęg 2, przy czym każda potęga może być użyta co najwyżej dwa razy. Na przykład f(6) = 3, bo 6=4+2=4+1+1=2+2+1+1. Co ciekawego można powiedzieć o ciągu

a_n = \frac{f(n)}{f(n+1)}?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2016, o 10:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4419
Lokalizacja: Łódź
Może chodzi o to, że

\forall  _{k \in N} \ a _{2 ^{k} }=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sie 2016, o 11:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Zaragoza
Nie do końca. f(8) = 4, f(9) = 3.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2016, o 11:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4419
Lokalizacja: Łódź
8=4+4=4+2+2=4+2+1+1 Jaka jest czwarta możliwość?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sie 2016, o 11:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Zaragoza
8 = 8 ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sie 2016, o 11:29 
Użytkownik

Posty: 718
A co powiecie na coś takiego:
8=4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots

8=8 nie spełnia warunków zadania, bo 0 nie jest potęgą dwójki, więc nie jest to suma
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sie 2016, o 11:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Zaragoza
Standardowo definiuje się, że suma po pustym zbiorze indeksów to zero, nie widzę więc przyczyn, dla których mielibyśmy nie uznawać sumy po singletonie. Nie zaznaczyłem tego wcześniej, ale dopuszczam jedynie rozkłady na całkowite składniki.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2016, o 11:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4419
Lokalizacja: Łódź
Dla mnie liczba nie jest sumą. Suma jest wynikiem dodawania, a tu trzeba by dodać zero, które nie jest potęgą dwójki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sie 2016, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 718
\displaystyle\mathop{\mbox{\Large $\mathsurround0pt\forall$}}_{k\in\mathbb{N}_+} a_{2^k-2}=k

\displaystyle\mathop{\mbox{\Large $\mathsurround0pt\forall$}}_{k\in\mathbb{N}_+} a_{2^k-1}=\frac1k

\displaystyle\mathop{\mbox{\Large $\mathsurround0pt\forall$}}_{k\in\mathbb{N}_+} a_{2^k}=\frac{k}{k-1}

A co można powiedzieć o ciągach
b_n=\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{f(n)f(n+2)}{f^2(n+1)},

c_n=\frac{b_n}{b_{n+1}}=\frac{f(n)f^2(n+2)}{f^3(n+1)f(n+3)},
... ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2016, o 09:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3488
Lokalizacja: blisko
A dyskusje typu czy 8=8 jest przedstawione jako suma czy nie jest bezsensowna, bo to takie czcze
dywagacje dobre w klubie studenckim typu Żaczek zaraz po obiedzie.
Przychylam się tu do opinii Santiago że to też jest rozwiązanie jak najbardziej.


Przyszło mi coś innego do głowy ale to już jest raczej trafione mianowicie:

Zróbmy rozkłady poszczególnych liczb na potęgi dwójki, i jest tych samych potęg nie więcej niż dwie.

1=1 \\
 f(1)=1

2=2 \\
 2=1+1 \\
 f(2)=2

3=2+1 \\
 f(3)=1

4=2^2 \\
 4=2+2 \\
 4=2+1+1 \\
 f(4)=3

5=2^2+1 \\
 5=2+2+1 \\
  f(5)=2

itd.....

niech a będzie liczbą naturalną, szukamy f(a)

niech k będzie tają liczbą że: 2^k \le a, 2^{k+1}>a

łatwo zauważyć, że szukamy liczby rozwiązań równania w naturalnych:

(1) x_{0}+2^1x_{1}+2^2x_{2}+...+2^kx_{k}=a

ale muszą być założenia:

0 \le x_{i} \le 2, dla i=0,1,2,...,k-1

natomiast:

x_{k}=0,1

Wielomianem charakterystycznym tego równania jest:

w(x)=(1+x+x^{2^1})(1+x^{2^1}+x^{2^2})(1+x^{2^2}+x^{2^3})...(1+x^{2^k})

współczynnik przy x^a określa ilość rozwiązań równania (1)

Przykład znajdźmyf(10), a=10

k=3

równanie:

x_{0}+2x_{1}+4x_{2}+8x_{3}=10

wielomian charakterystyczny:

w(x)=(1+x+x^2)(1+x^2+x^4)(1+x^4+x^8)(1+x^8)

lub:

w(x) = x^{22}+x^{21}+2 x^{20}+x^{19}+3 x^{18}+2 x^{17}+3 x^{16}+x^{15}+4 x^{14}+3 x^{13}+5 x^{12}+2 x^{11}+5 x^{10}+3 x^9+4 x^8+x^7+3 x^6+2 x^5+3 
 x^4+x^3+2 x^2+x+1

Odczytujemy, że:

f(10)=5 co się zgadza z doświadczeniem bo:

10=2^3+2

10=2^3+1+1

10=2^2+2^2+2

10=2^2+2^2+1+1

10=2^2+2+2+1+1

Oczywiście w tym wielomianie charakterystycznym możemy znaleźć wszystkie rozwiązania

od f(8) do f(15) bo tylko dla nich k=3,

i jak widać też zgadza się z doświadczeniem.

Pokazałem jak łatwo się szuka f(a)

Wzór jawny pewnie by wyglądał bardzo brzydko bo jak widać mamy tu do czynienia z partycjami liczby a do tego z ograniczeniami.

Łatwo zauważyć, że zadanie opiera się na trójkowym zapisie liczby...

A co do ciągu a_{n} mogę powiedzieć, że jest on ilorazem kolejnych współczynników wielomianu charakterystycznego jak widać nic mądrzejszego nie powiem...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozkład - zadanie 5  mol_ksiazkowy  1
 N-ta liczba Catalana jako potęgi kroczące  Tempy  2
 Rozkład n w systemie RSA  Makiwarrior  6
 Wyznaczyc rozkład brzegowy ,wartosc oczekiwana oraz wariacje  uczaj23  2
 Zmienna losowa ma rozkład o gęstości  Magda0601  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl