szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sie 2016, o 16:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 70
Lokalizacja: Polska
Witam. Robiłem sobie jakiś czas temu takie niewinne ćwiczenia z matematyki, dla wprawy -
doszedłem to takiego zadanka:
Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 4^n+15n-1 jest podzielna przez 9. Zadanie jest w dziale o indukcji matematycznej.
No i klops - nie szło, złamałem się i sprawdziłem w odpowiedziach i zachodzi najgorszy możliwy scenariusz - nie rozumiem dopowiedzi :oops: .

Zachodzi tam takie przekształcenie: 4 \cdot 4^n + 15n + 15 -1 = (4 \cdot 4^n + 4 \cdot 15n - 4) + 18
Za chiny nie widzę jak 15n stało się 4 \cdot 15n. Oczywiście coś tam się pozmieniało w tych liczbach nie wymnożonych przez zmienną... ale ja głupi jestem :-(. Mógłby to ktoś rozpisać jakoś albo nakierować mnie co tu się stało?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sie 2016, o 16:46 
Użytkownik

Posty: 706
Po dodaniu 3\cdot 15n=45n podzielność przez 9 nie zmienia się.

Ale znaku równości nie możesz tam postawić

-- 22 sie 2016, o 17:00 --

Całe rozwiązanie:

Sprawdzamy n=1, wychodzi 18, teza spełniona. Teraz chcemy dowieść, że 9\mid 4^n+15n-1 implikuje 9\mid 4^{n+1}+15(n+1)-1:

4^{n+1}+15(n+1)-1=4\cdot 4^{n}+15n+14

Dodajemy 3\cdot 15n

4\cdot 4^n+4\cdot 15n+14=4(4^n+15n-1)+18

Ponieważ wyrażenie w nawiasie jest podzielne przez 9 z założenia indukcyjnego oraz 18 jest podzielne przez 9, cała liczba jest podzielna przez 9.

Zatem teza jest prawdziwa przez indukcję, cnd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sie 2016, o 17:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 70
Lokalizacja: Polska
O. Dzięki wielkie :>
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 przekształcenie wyrażenia - zadanie 10  gelman  2
 Uzupełnienie luk w dowodzie z podzielnością  lightinside  1
 Przekształcenie liniowe - zadanie 40  Throx  3
 Problem z koncowka w dowodzie indukcja.  olfork  1
 Przekształcenie wzoru - zadanie 100  Matevos  13
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl