szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 sie 2016, o 00:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
Witam, rozwiązałam nierówność:
1 +  \sqrt{x+5} >  x

Wyszło mi: x  \in (1, 4), czy jest to poprawna odpowiedź ?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 23 sie 2016, o 00:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9885
Lokalizacja: Wrocław
Nie.
Powinno być x \in \left\langle -5,4\right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 sie 2016, o 00:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
Mógłbyś wytłumaczyć skąd taki wynik ?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 23 sie 2016, o 00:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9885
Lokalizacja: Wrocław
Najpierw dziedzina: x \ge -5
1 + \sqrt{x+5} > x \Leftrightarrow 6 \frac 1 4>(\sqrt{x+5})^2-\sqrt{x+5}+\frac 1 4 \Leftrightarrow  \frac{25}{4}>\left( \sqrt{x+5}-\frac 1 2\right)^2 \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow  \sqrt{x+5}-\frac 1 2 \in \left( -\frac 5 2;\frac 5 2\right) \Leftrightarrow \sqrt{x+5}\in\left( -2;3\right)
Pierwiastek arytmetyczny jest z definicji nieujemny, więc dla każdego x \ge -5 mamy
\sqrt{x+5}>-2. Wystarczy więc, że zagwarantujemy
\sqrt{x+5} < 3, co po podniesieniu stronami do kwadratu i redukcji przyjmuje formę
x <4.

Zamiast tego można by od razu podnosić do kwadratu przy odpowiednich założeniach i sprowadzić do nierówności kwadratowej, ale nie lubię tego sposobu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2016, o 01:19 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
Można też i tak:

t^2=x+5 \\ 1+t  > t^2-5 \\t^2-t-6 < 0 \\\left( t-3\right)\left( t+2\right)  < 0 \\t\in\left (-2;3\right)\\ \sqrt{x+5}\in\left (-2;3\right) \\ \sqrt{x+5}\in\left \langle0;3\right) \\ x \in \left\langle -5,4\right)

W tym drugim wierszu moduł można pominąć, co wynika z dziedziny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2016, o 02:19 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: Warszawa
Można też rysunkiem

\textcolor{green}{1 +  \sqrt{x+5}} > \color{red}{ x}

\begin{tikzpicture}[domain=-5:5]
    \draw [help lines] (5,-5) grid (-5,5); 
\draw [->] (-5,0) -- (5,0); 
\draw [->] (0,-5) -- (0,5);
\draw [green, thick, domain=-5:5] plot (\x, {1+sqrt(\x+5)}); 
\draw [red, thick, domain=-5:5] plot (\x, \x);
\draw[gray, dashed, very thick] (4,0) -- (4,4);
\draw[gray, dashed, very thick] (-5,1) -- (-5,0);
\draw[black] (-5,0) -- (-4.5,0.5) -- (3.5,0.5) -- (4,0);
\draw[black](4.2,-0.2) node{4};
\draw[black](-4.8,-0.2) node{-5};
\filldraw (-5,0) circle (2pt);
\draw[black](4,0) circle(2pt);


\end{tikzpicture}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 sie 2016, o 13:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję za pomoc. Początkowo myślałam, że wystarczy sprawdzić kiedy obie strony nierówności są większe od zera i wtedy podnieść do kwadratu żeby pozbyć się wyrażenia pod pierwiastkiem z lewej strony.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 23 sie 2016, o 13:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9885
Lokalizacja: Wrocław
Tak też można. Jeśli tak robiłaś, to widocznie popełniłaś jakiś błąd.
Może okazałoby się dla Ciebie korzystne, gdybyś napisała tutaj to swoje rozwiązanie, by ktoś wskazał pomyłkę (skoro wyszło Ci to (1,4)...) - wtedy już raczej nie popełnisz ponownie tego samego błędu.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 sie 2016, o 18:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
Na początku rozwiązywałam to tak:

1 + \sqrt{x + 5} > x
\sqrt{x + 5} > x - 1

x  + 5  \ge 0  \wedge x - 1 > 0
x  \in (1; \infty )

Teraz, po podniesieniu obu stron nierówności do kwadratu mamy:
x + 5 >  x^{2} - 2x + 1

Po uporządkowaniu nierówność kwadratowa:
(x + 1)(x - 4) < 0

Ostatecznie:
x  \in (-1; 4)  \wedge x  \in (1 ;  \infty )  \Rightarrow x  \in (1 ; 4)

Może nawet przy jedynce mogłoby być domkniete, ale skoro i tak odpowiedz jest zdecydowanie różna od prawidłowej to poczekam aż ktoś wskaże błąd w moim rozwiązaniu.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 23 sie 2016, o 18:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9885
Lokalizacja: Wrocław
Wydaje mi się, że błąd tkwi w tym, iż z jakiegoś powodu uznajesz, że "dziedzina" tej nierówności wymusza x-1>0, a tymczasem to działa trochę inaczej.
Dziedzina tego pierwiastka wymusza x\ge -5, a od postaci \sqrt{x + 5} > x - 1:
pierwiastek arytmetyczny jest z definicji nieujemny, więc gdy x \in \left\langle -5,1),
to nierówność jest prawdziwa. Natomiast dla x\ge 1 podnosimy stronami do kwadratu i dochodzimy do tego x<4. Rozwiązaniem jest więc ostatecznie suma tych przedziałów, tj.
\left\langle -5,1)\cup\left\langle 1,4)=\left\langle -5,4)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2016, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
Cassandra19x napisał(a):
\sqrt{x + 5} > x - 1
 \\ \\ x  + 5  \ge 0  \wedge x - 1 > 0


x+5\ge0 - to jest ok
x-1 > 0 - to już nie. Przecież pierwiastek (liczba nieujemna) może (a właściwie to musi) być większy od liczby ujemnej, np. \sqrt2>-2
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność z pierwiastkiem - zadanie 3  kkkrystekkk  4
 Nierówność z pierwiastkiem - zadanie 10  marcin1991  4
 nierówność z pierwiastkiem - zadanie 14  AiDi  3
 nierówność z pierwiastkiem - zadanie 18  gabor94  1
 nierówność z pierwiastkiem - zadanie 30  maja55555  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl