szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2016, o 17:45 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: warszawa
Witam, proszę o pomoc przy rozwiązaniu poniższych zadań używając zasady szufladkowej Dirichleta

1.Dany jest n-wyrazowy ciąg parami różnych liczb całkowitych (a1,a2,..,an). Wykaż że suma pewnej ilości jego kolejnych wyrazów jest podzielna przez n.

2.Spośród liczb 1,2,3,...2010 wybrano 1006 liczb. Udowodnij że wśród wybranych liczb istnieją
a) trzy liczby z których jedna jest sumą dwóch pozostałych, albo podwojeniem którejś z pozostałych
b) dwie liczby z których jedna dzieli drugą

3.Udowodnij że dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna taka, że liczbę k*n można w systemie dziesiątkowym zapisać za pomocą cyfr 1 i 0.

4.Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku 4 umieszczono 17 punktów. Udowodnij że odległość między pewnymi dwoma punktami nie przekracza 1.

5.Wewnątrz prostokąta o bokach 3 cm i 4 cm umieszczono 6 punktów. Udowodnij że odległość między pewnymi dwoma punktami nie przekracza \sqrt{5} .

6. Udowodnij że jeżeli każda z dziewięciu prostych rozcina równoległobok na dwa trapezy których pola mają się do siebie jak 2:3 to co najmniej trzy z tych prostych przechodzą przez jeden punkt.

7. w turnieju szachowym bierze udział 66 zawodników. Każdy z każdym rozgrywa jedną partię, a rozgrywki toczą się w czterech miastach. Udowodnij że pewna trójka zawodników rozegra wszystkie partie między sobą w tym samym mieście.

8. Przy okrągłym stole jest 100 miejsc oznaczonych proporczykami 100 różnych państw. Ambasadorowie tych państw usiedli przy stole w sposób losowy ale tak że żaden z nich nie usiadł na odpowiednim miejscu. Udowodnij że można tak obrócić okrągły stół aby co najmniej dwóch ambasadorów siedziało przy właściwych proporczykach

9.Każdy wierzchołek jedenastokąta foremnego pomalowano na jeden z czterech kolorów. Udowodnij że można wybrać pięć kolejnych wierzchołków pomalowanych co najwyżej trzema kolorami.

10. W kuli o promieniu 1 leży 9 punktów. Uzasadnij że wśród nich można znaleźć dwa odległe o nie więcej niż \sqrt{3}

11.Ze zbioru {1,2,...,100} wybrano 51 liczb że suma żadnych dwóch z nich nie daje 100. Pokaż że zbiór ten zawiera kwadrat liczby całkowitej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2016, o 20:28 
Użytkownik

Posty: 1087
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
1. Rozwiązanie: https://www.matematyka.pl/410322.htm#p5443112
2a.
Rozwiązanie:    

2b. Podobne zadanie w 1b tutaj: https://www.matematyka.pl/386438.htm#p5336496
3.
Rozwiązanie:    

4.
Hint:    

Hint2:    

5.
Hint:    

7. Rozwiązanie: http://archom.ptm.org.pl/?q=node/780
8.
Hint:    

9.
Rozwiązanie:    

10.
Rozwiązanie:    

11. Podobne zadanie: http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h241332p1327924

Jak czegoś nie rozumiesz to pisz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sie 2016, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: warszawa
Mruczek napisał(a):
4.
Hint:    

Hint2:    


Po podzieleniu trójkąta na 16 trójkątów równobocznych wyszło mi 15 punktów (wierzchołki) gdzie mogę rozmieścić te punkty, czyli wyszło mi że więcej niż 2 punkty będą położone w odległości mniejszej niż 1.

Mruczek napisał(a):
5.
Hint:    


podzieliłem ten prostokąt na sześć części o bokach 2 cm i 1 cm ( więc przekątna równa sie \sqrt{3} ) i mogę tam rozmieści tylko 5 punktów żeby nie przekraczały \sqrt{3}, o to chodziło ?

Mruczek napisał(a):
10.
Rozwiązanie:    


Chyba coś źle zrozumiałem ( podzieliłem sześcian, jak koste rubika 2x2 ),nie mogę sobie zobrazować tych figur w przestrzeni, zrozumiałem ze opisane przekatne wychodzą poza kule ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2016, o 00:41 
Użytkownik

Posty: 1087
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Nie rozumiesz na czym polega zasada szufladkowa. Ona mówi, że gdy masz n pudełek i n + 1 przedmiotów, to w jednym pudełku będą przynajmniej dwa przedmioty.

Ja rozwiązałem zacytowane przez Ciebie zadania poprawnie. My mamy w nich rozważać dowolne ułożenie punktów, a Ty np. w zad. 4 rozważasz jakiś szczególny przypadek ułożenia punktów z tymi wierzchołkami.
W zad. 4 podzieliliśmy na 16 trójkątów, ale mamy 17 punktów więc w przynajmniej jednym trójkącie będą przynajmniej dwa punkty, a maksymalna odległość między punktami w trójkącie o boku 1 wynosi 1, więc jest ok.
Np. w zad. 5 Ty robisz jakby odwrotnie niż w zasadzie szufladkowej.

W zad. 10 rzeczywiście tak jak w kostce rubika 2x2 mamy 8 sześcianów. Przekątne mogą wychodzić poza kulę i nie ma w tym nic złego - wybrane punkty leżą wewnątrz kuli, a więc także wewnątrz tych małych sześcianów. Ważne jest to, że w pewnym z tych sześcianów są dwa punkty, a maksymalna odległość między dowolnymi dwoma punktami w takim sześcianie wynosi \sqrt{3} (gdy są na przekątnej), więc odległość między naszymi dwoma punktami nie przekracza \sqrt{3}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zasada szufladkowa dirichleta - zadanie 10  gylopl  0
 Zasada szufladkowa Dirichleta - zadanie 20  m2m2  1
 Zasada szufladkowa Dirichleta - zadanie 2  Kamix___33  1
 Zasada szufladkowa Dirichleta - zadanie 31  justdzo  2
 zasada szufladkowa dirichleta - zadanie 15  17inferno  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl