szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2016, o 13:57 
Użytkownik

Posty: 811
Wyznacz równania parametryczne oraz zbadaj wzajemne położenie prostych:

l_1: \begin{cases}3x-2y-2z=0 \\ x+y-z=0\end{cases} oraz l_2: \frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-2}{3}

Najpierw l_1
Niech : x=t, t\in \RR wtedy:
\begin{cases}3t-2y-2z=0\\t+y-z=0\end{cases}\rightarrow \begin{cases}y=z-t\\3t-2z+2t-2z=0\end{cases}\rightarrow \begin{cases}x=t\\y=z-t\\5t=4z\end{cases}\rightarrow \begin{cases}x=t\\z=\frac{5}{4}t\\y=\frac{1}{4}t\end{cases}\rightarrow l_1:\begin{cases}x=4t\\y=t\\z=5t\end{cases}

l_2:\begin{cases}x=s+1\\y=2s-3\\z=3s+2\end{cases}

Niech u_1,u_2 - wektory kierunkowe prostych odpowiednio l_1, l_2.
Wtedy u_1=[4,1,5] \wedge u_2=[1,2,3].
Sprawdzimy czy proste są równoległe, czyli policzymy ich iloczyn wektorowy, jeżeli będzie równy zero, wówczas oznacza to, że albo jeden z wektorów jest zerowy (nie w tym przypaku) albo wektory wyjściowe są ze sobą liniowo zależne (równoległe).

u_1 \times u_2 = \left|\begin{matrix}i&j&k\\4&1&5\\1&2&3\end{matrix}\right|=[-7,-7,7]

Zatem nasze proste nie są równoległe.
Może, w takim razie, przecinają się ze sobą?
\begin{cases}4t=s+1\\t=2s-3\\5t=3s+2\end{cases}\rightarrow \begin{cases}8s-12=s+1\\t=2s-3\\10s-15=3s+2\end{cases}\rightarrow \begin{cases} t=2s-3\\7s=13\\7s=17\end{cases} \rightarrow \begin{cases}t=\frac{5}{7}\\s=\frac{13}{7}\end{cases}\vee\begin{cases}t=\frac{13}{7}\\s=\frac{17}{7}\end{cases}

Teraz, aby się upewnić, czy na pewno się przecinają dla powyższych t,s musimy podstawić do wyjściowego układu równań.
Podstawiając pierwsze rozwiązanie do trzeciego równania :
5\cdot \frac{5}{7}=\frac{25}{7}\neq 3\cdot\frac{13}{7}+2=\frac{53}{7}
Drugie rozwiązanie do pierwszego równania :
\frac{13}{7} \cdot 4= \frac{52}{7} \neq \frac{17}{7}+1 = \frac{24}{7}

Zatem nie przecinają się - są więc skośne.

Jeśli się przecinają, znajdź ich punkt wspólny.
-Nie przecinają się, ale jeśli przecinały by się to punktem byłoby rozwiązanie równania parametrycznego dla wyliczonego t lub s (zależy, do której prostej podstawiamy).
Oblicz kąt i odległość między tymi prostymi.
Proste są skośne, dlatego odległość wyliczymy ze wzoru, do którego potrzebujemy:
u_1\times u_2=[-7,-7,7]
oraz wektor P_1P_2, dowolnych punktów z prostych, naprzykład.
P_1=[4,1,5], P_2=[2,-1,5]
Wtedy \vec{P_1P_2}=[-2,-2,0]
Zatem d(l_1,l_2)=\frac{|[-7,-7,7]\circ[-2,-2,0]|}{||[-7,-7,7]||} = \frac{|14+14|}{\sqrt{49+49+49}}=\frac{28}{\sqrt{147}}

Teraz kąt między prostymi.
Niech \alpha będzie kątem między prostymi l_1,l_2
Wtedy :

\alpha=arc \cos \frac{|u_1 \circ u_2|}{||u_1||\cdot||u_2||}=arc \cos \frac{21}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{13}}=arc \cos \frac{21}{\sqrt{533}}.

Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania. :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 sie 2016, o 15:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Nie mam zastrzerzeń do Twojego rozwiązania :) Elegancko.

Na uwagę zasługuje postać krawędziowa prostej czyli Twoja pierwsza postać prostej l_{1}. Jest to układ równań dwóch płaszczyzn, czyli ta prosta jest przecięciem tych płaszczyzn. Do postaci parametrycznej można przejść też w inny sposób. Obliczamy iloczyn wektorowy wektorów normalnych tych płaszczyzn, czyli (3,-2,-2)  \times (1,1,-1) i w ten sposób otrzymujemy wektor kierunkowy prostej. Potem wystarczy nam znaleźć dowolny punkt prostej przez jakiekolwiek podstawienia do obu równań z postaci krawędziowej i mamy już postać parametryczną naszej prostej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2016, o 15:59 
Użytkownik

Posty: 811
Dzięki za odpowiedź ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 położenie prostych na płaszczyźnie  coolgirl  7
 prostopadłość prostych  piotrekq94  10
 Wzajemne położenie okręgu do prostej  RomanG  2
 Wzajemne położenie prostej i okręgu 2  luna129  1
 zbadać wzajemne położenie 3 płaszczyzn w zależności od m  agaczi  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl