szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2016, o 19:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 70
Lokalizacja: Polska
Witam, znowu walczę z prostymi podzielnościami. Zadanie jest sforułowane tak:
Wykaż, że dla każdego n \in \mathbb{N}
(a) 13|n^{13}-n
(b) 8|5^n + 2\cdot 3^{n-1} + 1

(a) Przede wszystkim dla n = 1 nie zachodzi :? - 1^{13}-1 \neq 13k,\; k \in \mathbb{Z}
Wzruszam ramionami, sprawdzam że dla n=2 zachodzi 2^{13}-2 = 8190 = 13 \cdot 630 więc zakładam że zachodzi dla pewnego m \geq 2 naturalnego.
Hipoteza: 13| \left( m+1 \right) ^{13}- \left( m+1 \right).
Tutaj trochę się głowiłem czy nie ma inteligentniejszego sposobu niż liczenie \left( m+1 \right) ^{13} :? ale ostatecznie - trójkąt Pascala i heja - wyszło:
\left( m+1 \right) ^{13}- \left( m+1 \right)  =
= m^{13} + 13m^{12} + 78m^{11} + 186m^{10} + 715m^{9} + 1287m^{8} + 1716m^{7} + 1716m^{6} + 1287m^{5} + 715m^{4} + 286m^{3} + 75m^{2} + 13m^{1} + 1 - m - 1
(jedyneczki się skrócą) zostaje
[Blad w formule, skoryguj!]
Teraz korzystam z założenia: m^{13}-m=13k, k \in \mathbb{Z}, mam
[Blad w formule, skoryguj!]
13k + 13 \left( m^{12} + 6m^{11} + 22m^{10} + 55m^{9} + 99m^{8} + 132m^{7} + 132m^{6} + 99m^{5} + 55m^{4} + 22m^{3} + 6m^{2} + m \right)  = 13 \left( k +  \left[ \cdots \right]  \right)
c. n. d.

I teraz, czy jest dobrze i czy dało się to zrobić jakoś inteligentniej? Bez rozpisywania \left( m+1 \right) ^{13} na chama?

(b) Tu walczę - znowu indukcyjnie. Dla n=1 jest po prostu 5^1 + 2\cdot3^0 + 1 = 8, zatem teza spełniona.
Zakładam że teza jest spełniona dla pewnego m \in \mathbb{N}. Staram się pokazać że zachodzi dla m+1:
5^{m+1} + 2 \cdot 3^{m} + 1 = 5 \cdot 5^m + 2 \cdot 3 \cdot 3^{m-1} + 1 no i np. da się do takiej postaci 4 \cdot 5^m + 4 \cdot 3^{m-1} +  \left( 5^{m} + 2 \cdot 3^{m-1} + 1 \right) fajnie jest bo z założenia to jest równe 4 \left( 5^m+3^{m-1} \right)  + 8k, \; k \in \mathbb{Z} i zostaje tylko jakoś przekształcić 4 \left( 5^m+3^{m-1} \right) żeby się ósemkę jakąś dało wyłączyć...

Do tego miejsca łatwo i tu się powinna pewnie włączyć pomysłowość :-(

Dla m=1, 2, 3, samo 4 \left( 5^m+3^{m-1} \right) jest podzielne przez 8 - dobry znak, może droga do rozwiązania jest ok.
Co dalej próbowałem:
- powyłączać 5-ki i 3-ki z 5^m i 3^m żeby wyciągnąć tę 8-kę przed nawias(bezskutecznie). Obiecujące było 4 \cdot 3^{m-1} = 16 \cdot 3^{m-2} ale już wyłączanie potęg 5-tęk i iloczyn z 4-ką nie da oczywiście nic podzielnego przez 8... chyba :?
- niedawno(mój zeszły temat :P) załapałem, że można dodać do wyrażenia jakąś wielokrotność k i wtedy podzielność przez k tego nowego wyrażenia jest równoważna podzielności wyjściowego wyrażenia. Próbowałem dodać jakąś wielokrotność 8 \left( 5^m+3^{m-1} \right) i podobnie jak w punkcie wyżej... możliwe że nieumiejętnie...
- Dopuszczalne by było: 4 \left( 5^m+3^{m-1} \right)  = 8 \left(  \left( \frac{5}{2} \right) ^m+ \left( \frac{3}{2} \right) ^{m-1} \right) ?? Raczej nie, bo dla m=1, 2 wychodzi 8 \cdot \hbox{liczba-nie-całkowita}

Wolałbym jakieś wskazówki, naprowadzenie czy w ogóle idę w dobrym kierunku niż gotowiec, ale jeśli rozwiązanie jest oczywiste a ja go po prostu nie widzę to zadowolę się gotowym rozwiązaniem i będę miał nadzieję że się z niego czegoś nauczę :P

-- edit: --
Przyszło mi jeszcze do głowy że może coś da próba udowodnienia 8|4 \left( 5^m+3^{m-1} \right) ponownie - indukcją? :-/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2016, o 19:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Zaragoza
(a) to przeformułowanie małego twierdzenia Fermata (dla n = 1 weź k = 0).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2016, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 16
b) Co powiesz o parzystości 5^m+3^{m-1}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2016, o 19:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
b) tutaj wystarczy zauważyć, że 5^2 \equiv 1\pmod{8} oraz 3^2\equiv 1\pmod{8}, stąd mamy dla wszystkich k \in \NN co następuje:
5^{2k}\equiv 1\pmod{8}, 5^{2k+1}\equiv 5\pmod{8}, 3^{2k+1} \equiv 3\pmod{8}, 3^{2k}\equiv 1\pmod{8}
Przyjrzyj się wyrażeniu
5^n + 2*3^{n-1} + 1
i zastanów się, co będzie gdy n=2k, k \in \NN^+, a co gdy n=2k+1, k \in \NN^+
(jakie wtedy będzie n-1? itd. - skorzystaj z powyższych spostrzeżeń).

-- 27 sie 2016, o 19:44 --

Zaratustra napisał(a):
(a) Przede wszystkim dlan = 1 nie zachodzi :? -1^{13}-1 \neq 13k,\; k \in \mathbb{Z}

a od kiedy to 0 \notin \ZZ? ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2016, o 23:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 70
Lokalizacja: Polska
Santiago A napisał(a):
(a) to przeformułowanie małego twierdzenia Fermata (dla n = 1 weź k = 0).

Faktycznie, chociaż w książce z której to zadanie wziąłem małe tw. fermata pojawia się trochę później(zresztą z jego użyciem, dla odmiany, to faktycznie łatwe z tego co teraz widzę);
Niemniej dzięki, nie pomyślałem o tym - właściwie właśnie się staram nadrobić braki w teorii liczb :? .

Lukasz19281 napisał(a):
b) Co powiesz o parzystości 5^m+3^{m-1}?

Auć... suma dwóch liczb nieparzystych... jest parzysta. Lol.(oczywiście oba czynniki sumy są potęgami liczb nieparzystych czyli są nieparzyste)
Czyli 4(5^m+3^{m-1})=4(2k')=8k'... ok.

Premislav napisał(a):
a od kiedy to 0 \notin \ZZ? ;)

Ojć!!! Masz rację! :oops: (będę utrzymywał że już dziś tyle zadań natrzaskałem że już mi się koncentracja wyłącza... a tak serio to ździebko pojechałem :mrgreen: )

Premislav; No i oczywiście dużo zgrabniej będzie z twoimi "zauważeniami":
Dla n=2k; k \in \mathbb{Z} mamy
5^{2k}+2\cdot3^{2k-1}+1=1 + 8t +2(3+8\tilde{t})+=2+6+8t+8\tilde{t} = 8(1+t+\tilde{t})
Dla n=2k+1; k \in \mathbb{Z} mamy
5^{2k+1}+2\cdot3^{2k}+1=5+8t+2(1+8\tilde{t})+1=8(1+t+\tilde{t})
c.n.d.

Ok. Wielkie dzięki ludzie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadanie z podzielności- suma potęg dwójki  nn  2
 Twierdzenie o podzielności- dowód  krzysiek852  2
 2 zadania zamknięte z podzielności liczb  Micha?12345  3
 Dowodzenie podzielności  Olka97  5
 Znajdz dwie liczby jeśli wiadomo że....  mikao  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl