szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2016, o 01:18 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Wrocław
Witam. Mam zadanie z książki dla mechaników, ślusarzy (obróbka skrawaniem), itp.
Podobno da się to rozwiązać bez komputera, choć może być trudno...

Drabina długości 10 metrów stoi oparta o ścianę, ale jednocześnie dotyka krawędzi kwadratowej skrzyni (długość boku 2 metry) stojącej pod drabiną. Obliczyć jak wysoko sięga drabina (gdzie dotknie ściany).
Odpowiedź z książki to: 9,6771 metra. Co też da się mniej-więcej wyznaczyć graficznie z rysunku.

Obrazek

Czyli są 3 trójkąty. Na podstawie tego można "z Pitagorasa" ułożyć układ równań.
Duży trójkąt: y^{2}+x^{2}=10^{2} stąd będzie x=\sqrt{(100-y^{2})}
Średni: 2^{2}+(y-2)^{2}=100-20\sqrt{(4+(x-2)^{2})}+4+(x-2)^{2}
Mały: 2^{2}+(x-2)^{2}=100-20\sqrt{(4+(y-2)^{2})}+4+(y-2)^{2}

Po wstawieniu pierwszego do drugiego wychodzi taki oto "potwór":
(y-2)^{2}+20\sqrt{(4+(\sqrt{(100-y^{2})}-2)^{2})}-(\sqrt{(100-y^{2})}-2)^{2}=100
Pytanie, co dalej?
Miejsca zerowe tego równania są bokami dużego trójkąta (przyprostokątnymi), a wynoszą: 2,521 oraz 9,677 (szukana wartość).
Obliczone na stronie WolframAlpha: http://goo.gl/ZBzGjA
Odpowiedzi mają mieć postać typu: y=1+\sqrt{26}\pm\sqrt{(23-2\sqrt{26})}
Czy ktoś zna sposób, aby dojść do odpowiedzi ręcznie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2016, o 04:03 
Użytkownik

Posty: 3650
Lokalizacja: Kraków PL
Sam żeś tego potwora stworzył.

Należy przekształcić równanie do postaci:

    20\sqrt{4+(\sqrt{100-y^2}-2)^2}=100-(y-2)^2+(\sqrt{100-y^2}-2)^2=\\=-2y^2+2y+200-4\sqrt{100-y^2}

i podnieść stronami do kwadratu. Coś się pewnie uprości i pewnie otrzymamy równanie:

    y^4-4y^3-92y^2+400y-400=0

Ww. równanie otrzymałem od razu z następującego układu (inną drogą):

    \begin{cases}
x^2+y^2=100 \\
\frac{y}{x}=\frac{y-2}{2}
\end{cases}

Drugie równanie w ww. układzie wynika z podobieństwa trójkątów (twierdzenie Talesa).

Jeżeli jest słuszne moje przypuszczenie, że: z książki dla mechaników, ślusarzy (obróbka skrawaniem) oznacza poziom szkoły średniej (technikum mechaniczne), to autor zadania „się wychylił” – analityczne, rozwiązanie ogólne równań stopnia czwartego wykracza po za program matematyki w szkole średniej, więc pozostają jedynie metody przybliżonego rozwiązywania równań.
Ww. równanie 4-go stopnia oprócz rozwiązań y=1+\sqrt{26}\pm\sqrt{(23-2\sqrt{26})} ma jeszcze rozwiązania y=1-\sqrt{26}\pm\sqrt{(23-2\sqrt{26})}, które należy pominąć (nie spełniają warunków określonych w temacie zadania).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2016, o 08:41 
Użytkownik

Posty: 551
Lokalizacja: Polska
Problem Thomasa Simpsona z 1745 roku.

x - odległość na ziemi od pudełka do drabiny
y - odległość na murze od pudełka do drabiny

(y+2)^2 + (x+2)^2 = 10^2

Trójkąty są podobne - proporcje:

\frac{2}{x} = \frac{y}{2} \Rightarrow x = \frac{4}{y}

Podstawiamy x do poprzedniego równania:

(y+2)^2 + \left( \frac{4}{y} +2\right) ^2 = 10^2

y^2 + \frac{16}{y^2} + 4y + \frac{16}{y} + 8 = 100

\left( y^2 + 8 + \frac{16}{y^2}\right)  + \left( 4y + \frac{16}{y}\right)  - 100 =0

\left( y + \frac{4}{y}\right) ^2 + 4  \left( y + \frac{4}{y}\right)   - 100 = 0

Niech a = y + \frac{4}{y}, wtedy mamy a^2 + 4a -100 = 0

stąd a = \pm  2(\sqrt{26}-1)

2(\sqrt{26}-1) = y + \frac{4}{y}

a dalej z górki ...
y+2 = wysokość na murze
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2016, o 13:16 
Użytkownik

Posty: 3650
Lokalizacja: Kraków PL
Powyżej Elayne za Thomasem Simpsonem wykazał, że pomysłowość znaczy więcej niż tępa siła.
Zaleca się: brać przykład.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2016, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Wrocław
Dziękuję za pomoc (dalej już chyba dam radę).
Rzeczywiście wygląda na to, że autor trochę "przegiął" z poziomem zadania.
To nie było dla studentów, tylko dla "fizycznych" pracowników (domyślnie tylko "po zawodówce").

"Tępa siła" też często daje wyniki. :wink: Zaleca się: czasami stosować (nawet jak się brzydzisz przemocą).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2016, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 551
Lokalizacja: Polska
Warto zauważyć, że w takim zadaniu jest jedno lub dwa rozwiązania w zależności od tego jak zostanie oparta drabina o skrzynię (akurat w tym zadaniu są dwa rozwiązania). Inną w miarę prostą metodą dającą znacznie większe możliwości jest rozwiązanie tego za pomocą stożka prostego. Zero równań czwartego stopnia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2016, o 12:48 
Użytkownik

Posty: 105
Lokalizacja: Wrocław
A jak rozwiązać równanie gdy wysokość i szerokość skrzynki są różne?
Mógłbyś podrzucić jak z tym stożkiem sie robi ;-)
pozdrówka
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2016, o 10:23 
Użytkownik

Posty: 105
Lokalizacja: Wrocław
Rozwiązanie z książki dla ślusarzy jest lekko nieprawidłowe (widocznie korzystano z suwaka logarytmicznego).
Wynik powinien być następujący: 9,6770023214 co jest odmienne od 9,6771 ;-). (drugi wynik to 2,5210367058
)
Gdyby ktoś miał potrzebę skorzystania to poniżej wstawiam wzory jakie mi wyszły.
a - skrzynka, l - drabina, h - wysokość

h_{1}= \frac{a+\sqrt{a^{2}+l^{2}}+\sqrt{l^{2}-2a^{2}-2a \sqrt{a^{2}+l^{2}}}} {2}


h_{2}= \frac{a+\sqrt{a^{2}+l^{2}}-\sqrt{l^{2}-2a^{2}-2a \sqrt{a^{2}+l^{2}}}} {2}

Pytanie co taki ślusarz zrobi gdy, wie jaką ma skrzynkę, wie na jaką wysokość ma wleźć a nie wie, którą drabinę ma wziąć z warsztatu.

Pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trójkąt prostokątny ABC, długość boków.  knights  1
 Obliczyć długość odcinka w trójkącie - Tales  kieubass  3
 Oblicz długość podstawy i ramienia trójkąta...  Philipovich  8
 Długość promienia - zadanie 7  Hacked20  5
 Długość boków trójąta i jego pole  Trista  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl