szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2016, o 12:05 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: warszawa
Witam, proszę o pomoc przy rozwiązaniu poniższego zadania

Wyznacz postać zwartą funkcji tworzącej ciągu \sum_{n=0}^{ \infty }k ^{2}

Moje rozwiązanie

\sum_{n=0}^{ \infty }k ^{2}= \sum_{n=1}^{ \infty } b _{k}

B(z)=\sum_{n=0}^{ \infty }b _{n}z ^{n}=\sum_{n=1}^{ \infty }n^{2}z ^{n}= z\sum_{n=1}^{ \infty }n  \frac{d}{dz}  z ^{n}= z\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^{ \infty }nz ^{n} = z^{2}\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{d}{dz} z ^{n}=z^{2}\frac{d}{dz}\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^{ \infty }z ^{n}= z^{2}\frac{d}{dz}\frac{d}{dz} ( \frac{z}{1-z})=z^{2}  \frac{-2}{(1-z)^{3}}

Teraz wykorzystuje wzór
\frac{1}{1-z} \cdot A(z)= \sum_{n \ge 0}^{} ( \sum_{k=0}^{n} a _{k})z ^{n}

co daje wynik
\frac{-2z ^{2} }{(1-z)^{4}}


czy te rozwiązanie jest poprawne, czy coś jeszcze muszę tutaj policzyć ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2016, o 12:23 
Użytkownik

Posty: 954
A co jest tu Twoim ciągiem? Ja chyba nie rozumiem Twoich oznaczeń.

Z tego zapisu B(z)=\sum_{n=0}^{ \infty }b _{n}z ^{n}=\sum_{n=0}^{ \infty }n^2 z ^{n} wynika, że masz ciąg b_n=n^2 i dla niego robisz funkcję tworzącą.

Jednak wcześniej napisałeś
\sum_{n=0}^{ \infty }k ^{2}= \sum_{n=1}^{ \infty } b _{k}.


A u góry w ogole napisałeś, że funkcje tworzącą masz już i jest to: \sum_{n=0}^{ \infty }k ^{2}. Tylko, że to nie jest funkcja tworząca, bo nie ma zmiennej z w niej. Popraw treść zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2016, o 12:45 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: warszawa
B(z) jest to funkcja tworząca ciągu b _{k}

liczę ją żeby wykorzystać ten wzór \frac{1}{1-z} \cdot A(z)= \sum_{n \ge 0}^{} ( \sum_{k=0}^{n} a _{k})z ^{n}

-- 10 wrz 2016, o 13:50 --

Nastąpił mój błąd w obliczeniach, wynik B(z) to \frac{ x^{2}+x }{(1-x) ^{3} }


temat do zamknięcia
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ilość różnowartościowych niemonotonicznych funkcji.  Anonymous  2
 Postac rekurencyjna ciagu 2,2,-4-4,8,8,-16,-16,32,32....  jesionekl  1
 Liczba funkcji oraz relacji.  Emiel Regis  4
 Różnowartościowość funkcji.  no name  4
 Ile jest funkcji zbioru w ten sam zbiór, takich że..  Krowax  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl