szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2016, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Dolna
Treść zadania:

Proste l_{1}: \frac{x-5}{4}=1-y=-z i l _{2}: 2x+4=3y=6z+18 są symetryczne względem płaszczyzny \pi. Wyznaczyć równanie parametryczne i ogólne płaszczyzn spełniających warunki narzucone na płaszczycznę \pi.

Strategia jaką wymyśliłem:
(1) Sprawdzam czy proste są równoległe lub skośne ---> nie są ani takie, ani takie.
(2) Przekształcam równania prostych l _{1} i l_{2} do postaci parametrycznej.
(3) Układam funkcję dwóch zmiennych d(s, t) (parametrów prostych l _{1} i l_{2}) odległości dwóch punktów leżących na prostych l _{1} i l_{2}.
(4) Wyznaczam minimum lokalne funkcji d(s, t).
(5) Wyznaczam po punkcie na każdej z prostych l _{1} i l_{2} których odległość jest najmniejsza dzięki znajomości minimum funkcji d(s, t) wstawiając współrzędne minimum do równań parametrycznych prostych l _{1} i l_{2}.
(6) Liczę współrzędne środka odcinka wyliczonego w (5). Punkt ten będzie należał do płaszczyzny symetrii \pi.
(7) Iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych prostych l _{1} i l_{2} to wektor normalny płaszczyzny symetrii \pi.
(8) Dzięki (6) i (7) wyznaczam równanie płaszczyzny symetrii \pi.

Pytanko: Czy jest szybszy sposób? Jeżeli tak to jaki?

Pytam z tego powodu, że na egzaminie na jedno zadanie jest bardzo mało czasu, a w/w strategia jest dosyć pracochłonna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2016, o 02:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6543
l_1:  \frac{x-5}{4}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z-0}{-1}
l_2:   \frac{x+2}{ \frac{1}{2} }  = \frac{y-0}{ \frac{1}{3} } =\frac{z+3}{ \frac{1}{6} }

Kiedy dwie proste są symetryczne względem płaszczyzny ? Gdy leżą w jednej płaszczyźnie.
Masz tylko trzy przypadki:
a)są równoległe ale rozłączne - jest tylko jedna płaszczyzna symetrii
b)są równoległe ale się pokrywają - jest nieskończenie wiele płaszczyzn symetrii
c)przecinają się - są dwie płaszczyzny symetrii

W przypadku c ) zaczep płaszczyznę w punkcie ich przecięcia, a wektor normalny będzie sumą (dla pierwszej płaszczyzny symetrii) lub różnicą (dla drugiej płaszczyzny symetrii) unormowanych (czyli o długości 1) wektorów kierunkowych danych prostych.

Twoja strategia:
Punkty (1)-(6) sugerują że zakładasz iż proste się nie przecinają. Jednakże jeśli one się nie przecinają i jednocześnie nie są równoległe (czyli są skośne) to nie mogą być symetryczne.
Proste skośne będą równoległe do płaszczyzny z (7) więc nie będzie ona nigdy płaszczyzną ich symetrii.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2016, o 09:51 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Dolna
Sorry, wkradł się błąd:

Cytuj:
(1) Sprawdzam czy proste są równoległe lub skośne ---> nie są ani takie, ani takie.


Są skośne oczywiście. Nie że sobie tak zakładam, tylko tak wynika z rachunków
P_{1}=(5,1,0)\\
 P_{2}=(-2,0,-3)\\
 \vec{ v_{1} } =[4,-1,-1]\\ 
 \vec{ v_{2} } =[ \frac{1}{2},  \frac{1}{3},  \frac{1}{6} ] \\
 \vec{P _{1}  P_{2} }=[-7,-1,-3]\\
\vec{ v_{1}} \circ ( \vec{ v_{2}} \times \vec{P _{1}  P_{2}} )=\left|\begin{array}{ccc}4&-1&-1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\-7&-1&-3\end{array}\right|=- \frac{11}{2} \neq 0

Wniosek: Proste l_{1} i l_{2} są skośne.

Więc płaszczyzna symetrii nie istnieje...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbadaj położenie punktów względem koła  ashlee  1
 Rzut środkowy-odległość punktu od płaszczyzny  Pramus  0
 4 płaszczyzny i prosta.  traw  3
 równanie płaszczyzny - zadanie 80  Vossler  0
 równanie płaszczyzny równoległej do prostej i przechodzącej  darecki  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl