szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2016, o 05:22 
Użytkownik

Posty: 281
Lokalizacja: Rzeszów
Czas poznać dowód lematu Zorna. Przypomnijmy jego treść:

Jeśli w zbiorze uporządkowanym \left( X,  \le \right) każdy łańcuch ma ograniczenie górne, to istnieje w \left( X,  \le \right) element maksymalny.

Chcę aby dowód tego zachwycającego twierdzenia, korzystał jedynie z aksjomatu wyboru i twierdzenia o funkcji wyboru.

Dla każdego łańcucha L \subset X możemy rozpatrywać zbiór jego wszystkich ograniczeń górnych, i na mocy twierdzenia o funkcji wyboru możemy wybrać z takiego zbioru jeden element, oznaczmy go o\left( L\right).

Możemy również przyjąć nie wprost że żaden element x\in X nie jest maksymalny, co oznacza że dla każdego x\in X zbiór \left\{ y\in X| \  \ x<y \right\} jest niepusty, zatem funkcja wyboru potrafi wybrać z niego jeden element- oznaczmy go y=w\left( x\right)

I co dalej? Nie wiem jak pokonać nieskończoność.
Proszę o wskazówki.

Możemy również spróbować udowodnić zamiast tego , chyba jeszcze bardziej zadziwiające, twierdzenie o maksymalnym łańcuchu:

W każdym zbiorze uporządkowanym \left( X,  \le \right) istnieje maksymalny łańcuch pod względem inkluzji.

Bowiem łatwo można pokazać, że lemat Zorna i powyższe twierdzenie o maksymalnym łańcuchu są równoważne.

Chcę podobnie dowód ten przeprowadzić wprost z aksjomatu wyboru i twierdzenia o funkcji wyboru.

Intuicja jest, że ustalamy pewien łańcuch, znajdujemy (nie wprost ) łańcuch większy pod względem inkluzji, znajdujemy coraz to większe łańcuchy itd. itd. ..., a następnie bierzemy sumę (być może większą niż zwykłą przeliczalną ) tych wszystkich łańcuchów jako łańcuch maksymalny.

Problem polega na tym, że ciężko to zrobić krok po kroku znajdując coraz to większe łańcuchy, gdyż nie mamy dobrych porządków ani twierdzenia Zermelo. Tak jak pisałem, dowód może korzystać jedynie z aksjomatu wyboru, twierdzenia o funkcji wyboru i podstawowych faktów teorii mnogości. Proszę o wskazówki.

Proszę o pomoc w udowodnieniu przynajmniej jednego z tych dwóch twierdzeń, gdyż są one zadziwiające.

-- 18 wrz 2016, o 16:45 --

Już nie potrzebuje pomocy. :) Nie spodziewałbym się że obiorę takie rozwiązanie. Wczoraj przestudiowałem dowód twierdzenia Bourbakiego-Witta. Cały czas nie chciałem go poznawać. Nawet kilka tygodni temu, jak ostatnio przed tym go przeglądałem, pomyślałem, no nie, rzeczywiście ten dowód jest koszmarny, nie będę go poznawał. A owo twierdzenie było chyba jedyną bolączką , wielką luką ( dla mnie) w dowodach równoważnych faktów aksjomatowi wyboru. W tym momencie ta luka została zapełniona. :D

Pomyślałem, że lepiej będzie udowodnić ciekawszy lemat Zorna lub twierdzenie o maksymalnym łańcuchu, mając dodatkowe narzędzia ( aksjomat wyboru i twierdzenie o funkcji wyboru). Szybko się jednak przekonałem, że nie sposób to zrobić tylko z tego korzystając, że musi to być zrobione krok po kroku, i że nie sposób to zrobić od dołu (trzeba od góry), bo to zbyt nieskończone.

Doszedłem do wniosku, że autorzy ważniaka mądrze zrobili opierając się na twierdzeniu Bourbakiego-Witta. Jednak próbowałem to udowodnić samodzielnie. Nie udało mi się udowodnić że pewien zbiór jest łańcuchem. Dużo sobie pomagałem rysunkami, ale graf zbioru uporządkowanego może być dość dowolny. Do końca tego nie zrobiłem.

Zdecydowałem się wczoraj poznać dowód tego twierdzenia. Ja nie potrafiłem udowodnić że pewien zbiór jest łańcuchem, a oni tak. Oni wszystko potrafią. :lol:
Kilka godzin i poznałem dowód. Nie jest on taki koszmarny. :)
Dodam że było tam pełno skrótów myślowych.

Także poznałem chyba pełną drogę do udowodnienia twierdzenia o maksymalnym łańcuchu i lematu Zorna. :D Zaraz zabiorę się do pracy i się tym podzielę. Trochę mi zejdzie. Dość gadania, zabieram się do pracy.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2016, o 02:40 
Użytkownik

Posty: 281
Lokalizacja: Rzeszów
Musiałem dopracować kilka rzeczy w dowodzie twierdzenia Bourbakiego-Witta i zajęło mi to kilka dni. Dokładny dowód jest tu:
https://www.matematyka.pl/411530.htm
Pewnie powiecie że jest on przecież koszmarny. No cóż, sprawa nie była prosta...
Dowód twierdzenia o maksymalnym łańcuchu przedstawiłem tu: https://www.matematyka.pl/411787.htm#p5450103
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód tw. Bourbakiego-Witta i tw. o maksymalnym łańcuchu  Jakub Gurak  1
 Dowód przemienności grupy  Poszukujaca  4
 Tw.Green'a dowód  zeegy1  2
 dowód - zadanie 12  Czesio  2
 Dowód z przestrzenią zwartą i spójnością  Bobi02  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl