szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: stosunek pół
PostNapisane: 13 wrz 2016, o 21:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 413
Lokalizacja: komp
Dany jest trójkat ABC, oraz punkty P, Q, R odpowiednio na BC, CA, AB tak ze zachodzi stosunek BP:PC=CQ:QA=AR:RB=m:n.

Pokaż ze zachodzi stosunek miedzy polami (PQR):(ABC)=(m^3+n^3):(m+n)^3.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: stosunek pół
PostNapisane: 14 wrz 2016, o 18:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5523
\frac{P _{\Delta PQR} }{P _{\Delta ABC}}=\frac{P _{\Delta ABC}-P _{\Delta AQR}-P _{\Delta BPR}-P _{\Delta CPQ} }{P _{\Delta ABC}}=\\=1 -\frac{P _{\Delta AQR} }{P _{\Delta ABC}}-\frac{P _{\Delta BPR} }{P _{\Delta ABC}}-\frac{P _{\Delta CPQ} }{P _{\Delta ABC}}=\\=1- \frac{ \frac{1}{2} \left| AQ\right|\left| AR\right| \sin  \alpha }{\frac{1}{2} \left| AC\right|\left|AB \right| \sin  \alpha } -\frac{ \frac{1}{2} \left| BP\right|\left| BR\right| \sin   \beta  }{\frac{1}{2} \left| BC\right|\left| AB\right| \sin  \beta } -\frac{ \frac{1}{2} \left| CP\right|\left| CQ\right| \sin  \gamma }{\frac{1}{2} \left| BC\right|\left| AC\right| \sin  \gamma }=\\=
1- \frac{ \left| AQ\right|\left| AR\right|  }{ \left| AC\right|\left|AB \right|  } -\frac{  \left| BP\right|\left| BR\right| }{ \left| BC\right|\left| AB\right|  } -\frac{  \left| CP\right|\left| CQ\right|  }{ \left| BC\right|\left| AC\right|  }=....
a)
\frac{\left| BP\right| }{\left| CP\right| }= \frac{m}{n}  \Rightarrow \left| BP\right|=  \frac{m}{n} \left| CP\right|\\
\left| BC\right|=\left| CP\right| +\left| BP\right|=\left| CP\right|+ \frac{m}{n} \left| CP\right|=  \frac{n+m}{n} \left| CP\right| \Rightarrow \left| CP\right|= \frac{n}{n+m} \left| BC\right|
b)
\frac{\left| CQ\right| }{\left| AQ\right| }= \frac{m}{n}  \Rightarrow \left| AQ\right|=  \frac{n}{m} \left| CQ\right|\\
\left| AC\right|=\left| AQ\right| +\left| CQ\right|= \frac{n}{m} \left| CQ\right|+  \left| CQ\right|=  \frac{n+m}{m} \left| CQ\right| \Rightarrow \left| CQ\right|= \frac{m}{n+m} \left| AC\right|
c)
\frac{  \left| BP\right|\left| BR\right| }{ \left| BC\right|\left| AB\right|  }=\frac{  \frac{n}{n+m}  \left| BC\right| \frac{m}{n+m} \left| AB\right| }{ \left| BC\right|\left| AB\right|  } = \frac{nm}{(n+m)^2}
d)
Analogicznie wychodzą pozostałe składniki sumy.


...=1- \frac{nm}{(n+m)^2} - \frac{nm}{(n+m)^2} - \frac{nm}{(n+m)^2} = \frac{(n+m)^2-3nm}{(n+m)^2} = \frac{n^2-nm+m^2}{(n+m)^2}=\\= \frac{n^2-nm+m^2}{(n+m)^2}  \frac{n+m}{n+m}  = \frac{n^3+m^3}{(n+m)^3}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 stosunek długości  tommassi  5
 trójkąt równoboczny, tg kąta i stosunek promieni  inka155  3
 Sinus kąta ostrego - podany stosunek promieni  xalucard0  2
 stosunek pól - zadanie 7  garb1300  6
 wyznacz stosunek przeciecia sie odcinka z bokiem  kolanko  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl