szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2016, o 17:06 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: nn
Witam.

Mam takie zadanie:

Cytuj:
Które z wyrazów ciągu \left( a_{n}\right) są równe 0, jeśli:
a_{n} = \left( n^{2} -2\right )\left( n^{2} -4\right)\left( n - 3 ) = 0


Na sam początek zaznaczam, że nie chodzi mi o rozwiązanie tego zadania, bo wiem doskonale jak je rozwiązać. Tłumaczyła mi to masa osób ( w zasadzie każdy kogo poprosiłem, żeby mi wytłumaczył dlaczego tak to się robi a nie inaczej ).

Aby to rozwiązać każdy nawias oddzielnie porównujemy do zera. Moje pytanie brzmi dlaczego? Jaka zasada matematyczna pozwala mi od tak sobie rozbić mnożenie przez siebie trzech nawiasów na trzy oddzielne równania?

Najczęściej słyszane odpowiedzi:

- Bo to tak się robi.
- Bo jest taka zasada, że tak się to robi.
- Bo nie obliczysz tego inaczej.
- To oczywiste.

Nawet nauczycielka matematyki w kółko odpowiadała w ten sposób.
Wiem, że w matematyce nie ma rzeczy oczywistych i za wszystkim stoi jakaś głębsza logika ( wszak 4  \times 4 = 16, bo 4 + 4 + 4 +4 = 16 a nie dlatego, że to oczywiste ). Czy jest na tym forum ktoś kto tak jak ja lubi rozumieć co robi i dlaczego, zamiast bezmyślnie klepać regułki?

Jeśli tak, to gdybym był królem dałbym mu rękę królewny za wyjaśnienie dlaczego da się każdy nawias rozbić na oddzielne równanie.

Pozdrawiam.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2016, o 17:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 547
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Wynika to z tego że w świecie liczb rzeczywistych zachodzi takie twierdzonko:

Iloczyn a \cdot b jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a=0 lub b=0.

Za pomocą prostej indukcji można pokazać więcej, a mianowicie, że:

Iloczyn a_1 \cdot \dots \cdot a_n jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a_1=0 lub \dots a_n=0

W Twoim przypadku mamy zagadnienie a_{n} = \left( n^{2} -2\right )\left( n^{2} -4\right)\left( n - 3 ) = 0, korzystając w powyższego twierdzenia otrzymujemy, że iloczyn tych wyrażeń jest równy zero, gdy conajmniej jedno z nich jest równe zero. Rozwiązując po kolei każdy nawias otrzymujesz pewne wartości n które "zerują" nawias. Tak więc otrzymujesz zbiory X_1,\dots,X_n liczb naturalnych o tej własności że zbiór X_i to zbiór tych liczb naturalnych które "zerują" i-ty nawias. Powołując się na powyższe twierdzenie widać, że szukanym zbiorem rozwiązań jest X_1 \cup \dots \cup X_n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2016, o 17:25 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: nn
Dzięki mistrzu!

Jedno proste stwierdzenie i już wszystko wiem.

Tej matematyczce, która odpowiadała mi, że "to intuicyjne" powinni odebrać prawo do wykonywania zawodu. Jak ona ma to tłumaczyć dzieciom jak dorosłemu chłopu tego nie była w stanie nawet przybliżyć?

Temat można zamknąć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2016, o 17:30 
Użytkownik

Posty: 495
Lokalizacja: Chełm
Tak, istnieje taka zasada. Mówi ona, że a\cdot 0=0.
A ponadto jeśli a\neq 0  \wedge b\neq 0, to a\cdot b\neq 0.

Pierwsze udowadnia się z prawa rozłączności mnożenia względem dodawania:
a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0\Rightarrow a\cdot 0=0.

A drugie idzie w ten sposób. Załóżmy, że a\neq 0 \wedge a\cdot b=0. Wtedy istnieje \frac{1}{a}. Mnożąc przez nie obustronnie równanie a\cdot b=0 otrzymujemy b=0.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 wrz 2016, o 08:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Może to głupie pytanie, ale skąd wiemy, że liczba odwrotna do a \neq 0 istnieje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2016, o 09:22 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Łódź
dobre pytanie. ktoś wie ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 wrz 2016, o 09:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
To, że a, b \neq 0 pociągają ab \neq 0 można pokazać wprost: wystarczy ograniczyć się do przypadku a, b > 0, wziąć po jednej liczbie wymiernej z przedziałów (0, a) i (0, b)* i zauważyć, że ich iloczyn leży między 0 i ab, choć pewnie można jeszcze prościej.

* \mathbb Q \subseteq \mathbb R jest gęstym podzbiorem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2016, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 11888
Lokalizacja: Bydgoszcz
Medea 2 napisał(a):
Może to głupie pytanie, ale skąd wiemy, że liczba odwrotna do a \neq 0 istnieje?

Z konstrukcji liczb rzeczywistych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2016, o 16:30 
Użytkownik

Posty: 495
Lokalizacja: Chełm
To, że liczba odwrotna do a\neq 0 istnieje, wynika z tego, że zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem. A w definicji ciała mamy powiedziane jasno, że każdy niezerowy element posiada element odwrotny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2016, o 17:23 
Użytkownik

Posty: 11888
Lokalizacja: Bydgoszcz
Michalinho napisał(a):
To, że liczba odwrotna do a\neq 0 istnieje, wynika z tego, że zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem. A w definicji ciała mamy powiedziane jasno, że każdy niezerowy element posiada element odwrotny.

Nie, jest na odwrót. To z faktu istnienia odwrotności (i paru innych faktów) wynika, że \RR jest ciałem. Liczby rzeczywiste się konstruuje (najpopularniejsze konstrukcje to przez przekroje Dedekinda lub przez relacje równoważności na zbiorze ciągów Cauchyego o wyrazach wymiernych). W każdej z tych konstrukcj pokazuje sie istnienie odwrotności dla niezerowych liczb.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dlaczego nie jest to ciąg arytmetyczny? - zadanie 2  witajhejserwus  4
 aki jest następny wyraz ciągu? i dlaczego ? .  karakakamien  4
 Czy ciąg zawsze przyjmuje wartości większe od zera?  magda2291  4
 Ile każdy z nas mógłby mieć max przodków za pomocą ciagów  diabel30  3
 Dane sa dwa ciagi: arytmetyczny i geometryczny. Kazdy z nich  orzi  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com