szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Poprawny zapis
PostNapisane: 18 wrz 2016, o 23:15 
Użytkownik

Posty: 79
\sqrt[3]{-8} =  -8^{ \frac{1}{3} } = -( 2^{3} )^{ \frac{1}{3} } = -2

Jestem prawie przekonany, że ten zapis jest dobry, ale chciałbym się upewnić.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Poprawny zapis
PostNapisane: 18 wrz 2016, o 23:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
\sqrt[3]{-8} to zapis zrozumiały, ale nie do końca poprawny. Pierwiastki arytmetyczne definiujemy dla liczb dodatnich. Gdyby to pominąć, jest OK.

Co ciekawe, \sqrt[3]{-8} jest dobrym zapisem dla pierwiastków zespolonych.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Poprawny zapis
PostNapisane: 18 wrz 2016, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 79
szw1710 napisał(a):
\sqrt[3]{-8} to zapis zrozumiały, ale nie do końca poprawny. Pierwiastki arytmetyczne definiujemy dla liczb dodatnich. Gdyby to pominąć, jest OK.

Co ciekawe, \sqrt[3]{-8} jest dobrym zapisem dla pierwiastków zespolonych.


Dziękuję za odpowiedź. Jednakże, podczas edukacji uczono mnie, że nie istnieje minus pod pierwiastkiem. Potem usłyszałem o liczbach zespolonych.

Spotkałem się dopiero teraz z takim zadaniem i chciałem sprawdzić, czy zapis jest logiczny.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Poprawny zapis
PostNapisane: 18 wrz 2016, o 23:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
Dziękuję za odpowiedź. Jednakże, podczas edukacji uczono mnie, że nie istnieje minus pod pierwiastkiem. Potem usłyszałem o liczbach zespolonych.


Właśnie to mówiłem w kontekście pierwiastków arytmetycznych. Ale i tak jest to zrozumiałe. Możemy się umówić, że \sqrt[3]{a}=b\iff a=b^3. W tym kontekście \sqrt[3]{-8}=-2, bo (-2)^3=-8. Stąd zapis pierwiastka (nieparzystego stopnia) z liczby ujemnej ma jednoznaczny sens i nie trzeba z nim aż tak walczyć. Mowa tu o liczbach rzeczywistych.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Poprawny zapis
PostNapisane: 19 wrz 2016, o 11:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 395
Lokalizacja: Warszawa
szw1710 napisał(a):
\sqrt[3]{-8} to zapis zrozumiały, ale nie do końca poprawny. Pierwiastki arytmetyczne definiujemy dla liczb dodatnich. Gdyby to pominąć, jest OK.


W moim liceum uczono, że pierwiastki nieparzystego stopnia mają sens także dla ujemnych liczb. Czy nauczyciele matematyki okłamali mnie? Gdzie pojawia się problem z liczbami rzeczywistymi?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Poprawny zapis
PostNapisane: 19 wrz 2016, o 12:34 
Użytkownik

Posty: 12582
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie okłamali Cię. Rzeczywiście mają one sens dla liczb ujemnych, ale należy zachować bardzo dużą ostrożność, bo dla liczb ujemnych nie zachodzą wzory do których przywykliśmy.

Dla nieparzystych n zapis \sqrt[n]{x} oznacza funkcję, która dla dodatnich x przyjmuje wartość x^{1/n} a dla ujemnych x wartość -|x|^{1/n} (lub, co na jedno wychodzi funkcję odwrotną do funkcji x\to x^n)

Ale nie można już napisac, że dla ujemnych x zachodzi \sqrt[3]{x}=x^{1/3}, bo prowadziło by to do dziwnych skutków. N.p.
-1=\sqrt[3]{-1}\red=?\black (-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=\left[(-1)^2\right]^{1/6}=1

Prawa działań na wykładnikach maja sens dla dodatnich podstaw.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 poprawny zapis - zadanie 2  Neonix  2
 poprawny zapis  marc20in  4
 zapis potęgi  dora1255  3
 zapis mnożenia w nawiasach  buzines  2
 zapis liczb roznych od zera  waliant  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl