szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 wrz 2016, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Warszawa
Podręcznikowe zadanie.
Wyznacz równania wspólnych stycznych do okręgów:
x^2+y^2=5 oraz (x-5)^2+(y-5)^2=20

Odpowiedź:
x+2y-5=0 \\
 x-2y-5=0 \\
 2x+y-5=0 \\
 -2x+y-5=0

I ja nawet zrobiłam zdanie i otrzymałam takie odpowiedzi.
Ale zrobiłam je takim sposobem, że najpierw przy pomocy zwykłej geometrii znalazłam punkt przecięcia obu stycznych zewnętrznych, i wyliczyłam równania tych stycznych ze wzoru na odległość punktu od prostej przechodzącej przez dany punkt.
Potem znalazłam punkt przecięcia stycznych wewnętrznych i analogicznie znalazłam ich równania.
Ale to jest strasznie pracochłonne rozwiązanie.
Zna ktoś może prostszy sposób?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 wrz 2016, o 11:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6337
Może tak będzie ciut szybciej.

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych jakie tworzą środki okręgów O_1 , O_2 oraz:
a) punkty styczności i punkt (P) przecięcia się stycznych leżących pomiędzy okręgami:
\vec{O_1P}= \frac{r_1}{r_1+r_2}    \vec{O_1O_2}
lub
\vec{O_2P}= \frac{r_2}{r_1+r_2}    \vec{O_1O_2}
albo
r_2 \cdot  \vec{O_1P}= r_1 \cdot  \vec{PO_2}

Tu:
\left[ x_p-0,y_p-0\right]= \frac{ \sqrt{5} }{\sqrt{5}+2\sqrt{5}}  \left[ 5-0,5-0\right]\\
P= \left(  \frac{5}{3} , \frac{5}{3}  \right)
albo
2 \sqrt{5}   \left[ x_p-0,y_p-0\right]=  \sqrt{5}   \left[ 5-x_p,5-y_p\right]\\
P= \left(  \frac{5}{3} , \frac{5}{3}  \right)

b) punkty styczności i punkt (P') przecięcia się stycznych leżących poza okręgami:
r_2 \cdot  \vec{O_1P'}= r_1 \cdot  \vec{O_2P'}

Tu:
2 \sqrt{5}  \left[ x_p-0,y_p-0\right]=  \sqrt{5}\left[ x_p-5,y_p-5\right]\\
P=\left( -5,-5 \right)

W obu sytuacjach zadanie sprowadza się teraz do znalezienia stycznych do jednego z okręgów i przechodzących przez punkt P (P').

Rozwiązanie analityczne:
\begin{cases}  \begin{cases} y=ax+b \\ x^2+y  ^2=5\end{cases}  \\ \begin{cases} y=ax+b\\ (x-5)^2+(y-5)^2=20\end{cases}  \end{cases}
\begin{cases}  \begin{cases} y=ax+b \\ x^2+(ax+b)  ^2=5\end{cases}  \\ \begin{cases} y=ax+b\\ (x-5)^2+(ax+b-5)^2=20\end{cases}  \end{cases}
\begin{cases} x^2+(ax+b)  ^2=5 \\ (x-5)^2+(ax+b-5)^2=20\end{cases}
\begin{cases} \Delta_1=0\\  \Delta_2=0 \end{cases}
zwykle jest irytująco czasochłonne.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 wrz 2016, o 13:12 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Warszawa
No tak...ja to dokładnie tak zrobiłam.
Ale to jest strasznie żmudne...szukam sposobu na zrobienie tego bezpośrednio ze wzoru na odległość szukanej prostej Ax+By+C=0 raz od środka jednego okręgu, drugi raz od środka drugiego okręgu.
I tez nawet mi coś wychodzi...przy rozpatrzeniu pierwszego przypadku, na 4 otrzymane proste jedna pokrywa sie z jedną z prostych w odpowiedzi :(
A są jeszcze do rozpatrzenia 3 przypadki :( i spasowałam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wyznacz liczbe okregów stycznych do osi X, Y oraz ...  Anonymous  1
 Wyznacz punkt przecięcia się prostej z okręgiem  Anonymous  5
 Wyznacz współrzędne wierzchołka równoległoboku  Anonymous  15
 Wyznacz wart. param. dla których ukł. jest liniowo zależ  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl