szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 paź 2016, o 15:35 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Polska
Witajcie ;) Mam zadanie ( p.s. nie trzeba robić indukcyjnie).

Udowodnić, że wzór jest prawdziwy:

0^{2} {n \choose 0} + 1^{2} {n \choose 1}+ 2^{2} {n \choose 2}+...+n^{2} {n \choose n}  =n(n+1) \cdot  2^{n-2}

Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 paź 2016, o 16:14 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Tytuł: Udowodnić prawdziwość zbioru
A od kiedy to zbiory mogą mieć wartość logiczną: Prawda albo Fałsz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 paź 2016, o 16:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 406
Lokalizacja: Warszawa
Policz drugą pochodną funkcji (1+x)^{n} w punkcie x = 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 paź 2016, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 12618
Ja mam zupełnie inną propozycję:
na zgromadzeniu Żydów na cmentarzu w Pradze wybierani są redaktor naczelny Gazety Wyborczej i tajny żydowski gubernator Polski (przy czym te stanowiska mogą być łączone, jak to miało miejsce w przypadku pana Adama Michnika) oraz ewentualnie delegowana jest grupa wspierająca kontrolę Narodu Wybranego nad RP. Na oba stanowiska mamy taką samą grupę n kandydatów, spośród tej grupy możemy też dobrać (lub już nie dobierać) grupę wspierającą.
Z jednej strony patrzymy na to tak:
dla k=1,\dots n możemy wybrać {n \choose k} osób, które dostaną jakąś rolę do odegrania, a spośród tychże na k^2 sposobów wybieramy redaktora naczelnego GW i gubernatora (oczywiście dodanie 0^2{n \choose 0}=0 nic nie zmienia).
Więc łącznie mamy \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}k^2= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}k^2
sposobów wyboru grupy kontrolującej Polskę z ramienia Narodu Wybranego.

Z drugiej strony możemy na to popatrzeć tak: albo uprawnienia redaktora i gubernatora będą skupione w jednym ręku, albo nie. W tym pierwszym przypadku jest
n2^{n-1} sposobów wyboru grupy - na {n \choose 1}=n sposobów wybieramy redaktora-gubernatora, a potem dobieramy podzbiór zbioru n-1 pozostałych kandydatów jako ewentualne wsparcie (dla każdego z n-1 pozostałych prawdą jest, że albo będzie on należał do grupy wspierającej, albo nie). No i reguła mnożenia.
W drugim przypadku na n(n-1) sposobów wybieramy redaktora i gubernatora,
a następnie na 2^{n-2} sposobów możemy dobrać grupę wsparcia.
Zatem wychodzi na to, że łącznie mamy n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}=n(n+1)2^{n-2}
sposobów wyboru grupy kontrolującej Polskę.

Stąd \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}k^2=n(n+1)2^{n-2}.

-- 1 paź 2016, o 17:57 --

Czekam na chwilę, w której zostanę zbanowany za "antysemityzm". W międzyczasie jeszcze jedno rozwiązanie zadania:
zwróćmy uwagę na fakt, że
k{n \choose k}=n{n-1 \choose k-1} dla k>0
i podobnie k(k-1){n \choose k}=n(n-1){n-2 \choose k-2} dla k>1
- wystarczy rozpisać na silnie i poskracać.

Zatem
\sum_{k=0}^{n}k^2 {n \choose k}= \sum_{k=1}^{n}k^2{n \choose k}= \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}+ \sum_{k=2}^{n}k(k-1){n \choose k}=\\= \sum_{k=1}^{n}n{n-1 \choose k-1}+ \sum_{k=2}^{n}n(n-1){n-2 \choose k-2}=n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}=n(n+1)2^{n-2}, c.k.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2016, o 10:28 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Polska
Dziękuję bardzo za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić prawdziwość wzoru  ?o?-i?ek  2
 Wyznaczanie wzoru jawnego - zadanie 3  matfiz4life  1
 Udowodnić nierówność - zadanie 44  patryk007  0
 Udowodnic, ze ze zbioru, istnieje taka liczba, ktora jest...  Big_Boss1997  1
 Zastosowanie wzoru na liczbę kombinacji  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl