szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2016, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 100
Lokalizacja: Polska
Udowodnij, że dla dowolnego n

\frac{n!}{n^n} \le 1

To jest w ogóle możliwe dla dowolnego n? Co z zerem? Albo liczbami ujemnymi? :o
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 paź 2016, o 13:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9884
Lokalizacja: Wrocław
Dla n ujemnych (i dla zera) lewa strona nie ma sensu, brak precyzji w sformułowaniu. Chodzi o n naturalne.
\frac{n!}{n^n}= \frac{ \prod_{k=1}^{n} k}{ \prod_{k=1}^{n}n } = \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{n}
i każdy czynnik jest nie większy niż 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2016, o 13:46 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
nie byłbym sobą gdybym nie wyżył się indukcyjnie, więc proponuję takie rozwiązanie:

załózmy, że własność zachodzi dla dowolnego n\in \NN_{+}

chcemy pokazać, że zachodzi zatem dla n+1.

\left( n+1\right)^{n+1}  \ge \left( n+1\right)!  \Leftrightarrow   \left( n+1\right)^{n+1}  \ge n! \left( n+1\right) \Rightarrow \left( n+1\right)^n  \ge n!

z rozwinięcia dwumianowego Newtona mamy:
n^n + W_{n-1}\left( n\right)  \ge n!

z założenia n^n  \ge n! więc gdy po lewej stronie dodamy do tego wielomian stopnia n-1 tym bardziej własność zajdzie. wiec na mocy zasady indukcji matematycznej wlasnosc zachodzi dla dowolnego n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2016, o 20:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 808
Lokalizacja: MiNI PW
Kacperdev napisał(a):
nie byłbym sobą gdybym nie wyżył się indukcyjnie, więc proponuję takie rozwiązanie:

załózmy, że własność zachodzi dla dowolnego n\in \NN_{+}

chcemy pokazać, że zachodzi zatem dla n+1.

\left( n+1\right)^{n+1}  \ge \left( n+1\right)!  \Leftrightarrow   \left( n+1\right)^{n+1}  \ge n! \left( n+1\right) \Rightarrow \left( n+1\right)^n  \ge n!

z rozwinięcia dwumianowego Newtona mamy:
n^n + W_{n-1}\left( n\right)  \ge n!

z założenia n^n  \ge n! więc gdy po lewej stronie dodamy do tego wielomian stopnia n-1 tym bardziej własność zajdzie. wiec na mocy zasady indukcji matematycznej wlasnosc zachodzi dla dowolnego n

Skoro tak zakładamy, to co nam w ogóle zostaje do udowodnienia??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2016, o 21:08 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Jak już się tak czepiamy, to podkreślone powinno być \red{n \in \NN_{+}}. (chociaz moze nie na czerwono ale pogrubione)
Rzeczywiście tu lepiej sprawowałoby się k.
No ale serio tak sie czepiamy? :D
Równie dobrze można sie przyczepić, że nie zrobilem pierwszego kroku. Zakladam jednak jakas samodzielnosc autora tematu i pozwalam sobie na skróty.

Moderska uwaga: nie cytuj całego posta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2016, o 21:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 808
Lokalizacja: MiNI PW
Na czerwono jest to co powinno być. Zastanów, się, skoro zakładasz prawdziwość dla dowolnego n naturalnego, to np. jaki jest sens dowodzenia tego dla n+1, skoro już tak na prawdę założyłeś, że jest to prawdziwe?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2016, o 21:29 
Administrator

Posty: 20557
Lokalizacja: Wrocław
Kacperdev, muszę niestety przyznać rację Liderowi_M. Dowód indukcyjny to nie tylko rachunki, a Twoje sformułowanie to jeden z klasycznych błędów formalnych.

Powinieneś napisać: Weźmy dowolnie ustalone n\in\NN_+, dla którego własność zachodzi. Pokażemy, że zachodzi także dla n+1.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2016, o 21:32 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Oj czemu zaraz niestety. :)
w porządku, przyjmuję.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 potęga  tomgda  5
 dowód równości - zadanie 5  1991akinom  1
 silnia z (4n)  SzalonyMjut  1
 silnia - oblicz n  robnad3440  9
 Potega do potegi.  micha?1995  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl