szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2016, o 20:38 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji f(x) =  \frac{3}{x} i równoległych do prostej k: y = - \frac{1}{3} x. Podaj współrzędne punktów styczności tych prostych.

Po chorobie zupełnie nie wiem jak to ugryźć mimo wertowania podręcznika. A jutro sprawdzian :| Proszę o wyjaśnienie. Wiem, że aby styczna była równoległa do prostej, współczynniki kierunkowe muszą być takie same i to w sumie tyle co wiem. Z góry dzięki :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2016, o 20:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17964
Lokalizacja: Cieszyn
Czym jest współczynnik kierunkowy stycznej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2016, o 20:50 
Użytkownik

Posty: 140
Lokalizacja: Skarżysko-Kamienna
Prosta y=- \frac{1}{3}x+b jest równoległa do podanej prostej. Aby była ona styczna do funkcji y= \frac{3}{x} musi mieć z nią jeden punkt wspólny. Zatem rozwiązując układ równań z wymienionych funkcji oczekujemy jednego rozwiązania. Po drodze powstanie równanie kwadratowe z parametrem b, wyróżnik tego równania musi być równy zero.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2016, o 22:00 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17964
Lokalizacja: Cieszyn
Styczna nie musi mieć jednego punktu wspólnego z wykresem funkcji. Zob. na sinusa i proste y=\pm 1. Punkty styczności można wyznaczyć w oparciu o pochodną. Mamy -\frac{3}{x^2}=-\frac{1}{3}, skąd dostajemy dwa punkty styczności. Wystarczy teraz zastosować postać równania stycznej w tych konkretnych punktach.

Chyba że pochodne nie są w programie szkolnym. Tu rzeczywiście należy spodziewać się jednego rozwiązania, albowiem nasza funkcja jest wypukła na półosi dodatniej, a wklęsła na półosi ujemnej. Ale generalnie nie można twierdzić, że styczna przecina wykres funkcji w jednym punkcie. Może być jednocześnie sieczną w połączeniu z innym punktem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2016, o 05:03 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Dziękuję za odpowiedzi. Podążyłem wskazówkami i doszedłem do następującego rozwiązania:

f \left( x \right)  =  \frac{3}{x}
f' \left( x \right)  =  \frac{-3}{ x^{2} }

\frac{-3}{ x^{2} } = - \frac{}{}  \frac{1}{3} (dlaczego ucinamy x z równania ?

Mamy:

x = 3  \vee x = -3

Dla x = -3 :
y = - \frac{1}{3}x = 1

Dla x = 3 :
y = - \frac{1}{3}x = -1

Zatem otrzymujemy dwa możliwe punkty styczności:
P \left( -3,1 \right)
Q \left( 3,-1 \right)

Podstawiając do równania stycznej, mamy:

1 = - \frac{1}{3}  \cdot   \left( -3 \right)  + b
b = 0

-1 = - \frac{1}{3}  \cdot  3 + b
b = 0


Czy to jest poprawnie przeprowadzone rozumowanie? W ogóle jakoś się w tym nie czuję. Poza tym odpowiedź do zadania w podręczniku wygląda następująco:

Cytuj:
dwie styczne: l _{1} = - \frac{1}{3}x+2, P \left( 3,1 \right) oraz l _{2} = - \frac{1}{3}x-2, P \left( -3,-1 \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2016, o 06:17 
Użytkownik

Posty: 140
Lokalizacja: Skarżysko-Kamienna
Punkty styczności to P_1(3,1) i P_2(-3,-1).
Drugą współrzędną punktu obliczasz podstawiając do funkcji y= \frac{3}{x}.
I teraz dopiero wyznaczasz wyraz wolny w funkcji liniowej.

szw1710 napisał(a):
Styczna nie musi mieć jednego punktu wspólnego z wykresem funkcji...

Zgadza się. Pisząc to brałem oczywiście pod uwagę rozwiązywane zadanie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbiór zadań - RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI  Rogal  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl