szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 18:01 
Użytkownik

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie
Udowodnij że jeżeli suma trzech dowolnych liczb naturalnych jest podzielna przez 6, to suma sześcianów tych liczb jest również podzielna przez 6.

Wie ktoś jak to rozwiązać?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 12542
Wskazówka:
a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
Ponadto zauważ, że co najmniej jedna spośród liczb a,b,c jest parzysta (gdyby była suma trzech nieparzystych, to byłaby nieparzysta, więc niepodzielna przez 6) i zadanie zrobione.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 18:38 
Użytkownik

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie
Inny sposób jakis?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 18:49 
Administrator

Posty: 22656
Lokalizacja: Wrocław
a^3+b^3+c^3=\left( a+b+c\right)^3-3ab(a+b)-3ac(a+c)-3bc(b+c)-6abc

i musisz uzasadnić, że każdy iloczyn ab(a+b),ac(a+c),bc(b+c) jest parzysty.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 paź 2016, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: Warszawa
Wystarczy zauważyć, że a\equiv a^{3} \pmod{6}. Wtedyx^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv x+y+z\equiv 0 \pmod{6}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2016, o 17:26 
Użytkownik

Posty: 2372
Lokalizacja: Kraków
Hayran napisał(a):
Wystarczy zauważyć, że a\equiv a^{3} \pmod{6}. Wtedyx^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv x+y+z\equiv 0 \pmod{6}

To nie jest dobre rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2016, o 17:31 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: Warszawa
TheBill napisał(a):
Hayran napisał(a):
Wystarczy zauważyć, że a\equiv a^{3} \pmod{6}. Wtedyx^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv x+y+z\equiv 0 \pmod{6}

To nie jest dobre rozwiązanie.

Co jest z nim nie tak :?:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2016, o 17:36 
Użytkownik

Posty: 2372
Lokalizacja: Kraków
x^{3}+y^{3}+z^{3} \neq  \left( x+y+z\right)  ^{3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2016, o 17:39 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: Warszawa
To prawda. W zadaniu mamy jednak pokazać, że to suma sześcianów jest podzielna przez 6, a nie sześcian tej sumy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2016, o 18:04 
Użytkownik

Posty: 2372
Lokalizacja: Kraków
No to weźmy x+y+z\equiv 0 \pmod{3}
Według Ciebie x ^{2} +y^{2}+z^{2}\equiv 0 \pmod{3}, (bo a\equiv a^{2} \pmod{3})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2016, o 18:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2911
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa / Zurych
TheBill napisał(a):
No to weźmy x+y+z\equiv 0 \pmod{3}
Według Ciebie x ^{2} +y^{2}+z^{2}\equiv 0 \pmod{3}, (bo a\equiv a^{2} \pmod{3})


Przecież Hayran nigdzie nie napisał, że a^2 \equiv a \pmod{3}. Jego rozwiązanie jest poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2016, o 18:46 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: Warszawa
Ponadto jeśli a\equiv 2\pmod{3}, to wówczas a^2\equiv 1 \pmod{3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2016, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie
Na jakim poziomie jest to zadanie?

-- 31 paź 2016, o 22:43 --

Premislav napisał(a):
Wskazówka:
a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
Ponadto zauważ, że co najmniej jedna spośród liczb a,b,c jest parzysta (gdyby była suma trzech nieparzystych, to byłaby nieparzysta, więc niepodzielna przez 6) i zadanie zrobione.

Takie pytanie jak doszedłeś do takie czegoś ze zostało tylko -3abc po wymnożeniu?

A dobra bo to jest wzor na sume szescianów
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2016, o 22:55 
Moderator

Posty: 1975
Lokalizacja: Trzebiatów
Ciężko jednoznacznie określić, ale chyba nikt nie będzie mieć zarzutów, jeśli odważę się stwierdzić, że wykracza poza standardy maturalne ( matura rozszerzona ).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność zbioru liczb przez 3  Lewo  4
 podzielność liczby - zadanie 2  kata189  6
 Wykaż podzielność - zadanie 7  marcin2447  1
 Wskazać dowolny dzielnik sumy potęg liczb  gajatko  4
 Proste pytanie o podzielnosc zera  tomasz90skomra  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl