szukanie zaawansowane
 [ Posty: 26 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 18:36 
Użytkownik

Posty: 79
Wykaż, że jeśli a i b są liczbami tego samego znaku, to \frac {a}{b} + \frac {b}{a} \ge 2.

Zał.: x \not\in \begin{cases} a=0 \\ b=0 \end{cases}

\frac {a^2+b^2}{ab}  \ge 2

Czy to będzie koniec dowodu? Czy muszę napisać coś w stylu:

Suma a^2+b^2 dzielona przez iloczyn ab daje liczbę dodatnią i większą lub równą dwa, ponieważ ten sam znak wstawiony pod a i b zawsze da liczbę dodatnią.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 18:42 
Administrator

Posty: 20790
Lokalizacja: Wrocław
ceanseer napisał(a):
Zał.: x \not\in \begin{cases} a=0 \\ b=0 \end{cases}

Niezależnie od intencji ten zapis nie ma sensu.

ceanseer napisał(a):
\frac {a^2+b^2}{ab}  \ge 2

Czy to będzie koniec dowodu?

Nie, początek.

ceanseer napisał(a):
Czy muszę napisać coś w stylu:

Suma a^2+b^2 dzielona przez iloczyn ab daje liczbę dodatnią i większą lub równą dwa, ponieważ ten sam znak wstawiony pod a i b zawsze da liczbę dodatnią.

Napisanie czegoś w tym stylu nic Ci nie daje - tu nie ma żadnego uzasadnienia. Niby dlaczego "suma a^2+b^2 dzielona przez iloczyn ab daje liczbę dodatnią i większą lub równą dwa"? Bo na pewno nie dlatego, że "ten sam znak wstawiony pod a i b zawsze da liczbę dodatnią" (nie jestem nawet pewny, co by to miało znaczyć).

Wskazówka: skorzystaj z tego, że jeśli a i b są tego samego znaku, to ab>0.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 19:04 
Użytkownik

Posty: 79
Skoro a=b (ponieważ używamy tego samego znaku), to

\frac {a}{a} + \frac {a}{a} \ge 2 \\
1+1-2 \ge 0

?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 450
Czy z faktu, że liczby są tego samego znaku wynika od razu,że a=b?
Pomyśl nad tym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 19:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10228
Lokalizacja: Wrocław
ceanseer, chyba nie zrozumiałeś, o czym pisał Pan Jan Kraszewski. To, że a i b są "tego samego znaku", oznacza, że są "po tej samej stronie zera", czyli obie te liczby są ujemne albo obie są dodatnie. Tj. na przykład z tego, że -1 i -3 są tego samego znaku nie wynika, że -1=-3.
Być może jesteś trolleadorem i masz teraz ubaw po pachy, ale napisałem tak na wszelki wypadek, gdyby tak nie było.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 79
Po prostu pomyliłem elementarne pojęcia (wyrażenie to nie znak) i napisałem głupoty...

Wracając do zadania jeszcze raz.

Zał.: a,b > 0

a^2 + b^2 \ge 2ab \\
a^2-2ab+b^2 \ge 0 \\
(a-b)^2 \ge 0

Iloczyn takich samych czynników daje zero.

Teraz jest dobrze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 19:58 
Administrator

Posty: 20790
Lokalizacja: Wrocław
No nie jest dobrze.

Po pierwsze, założenie a,b > 0 ma niewiele wspólnego z zadaniem. Po drugie, wniosek "
Iloczyn takich samych czynników daje zero." jest głęboko nieprawdziwy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 79
Miałem na myśli to, że iloczyn czynników o takich samych znakach daje liczbę dodatnią.

Dlaczego moje założenie ma niewiele wspólnego z zadaniem? Nie można dzielić przez zero.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 20:11 
Administrator

Posty: 20790
Lokalizacja: Wrocław
ceanseer napisał(a):
Miałem na myśli to, że iloczyn czynników o takich samych znakach daje liczbę dodatnią.

Nie wiem, co miałeś na myśli, wiem, co napisałeś.

ceanseer napisał(a):
Dlaczego moje założenie ma niewiele wspólnego z zadaniem? Nie można dzielić przez zero.

Ponieważ założenie zadania brzmi:

ceanseer napisał(a):
a i b są liczbami tego samego znaku

a to zupełnie co innego niż to, co napisałeś.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2016, o 17:19 
Użytkownik

Posty: 79
Jeszcze raz:

Zał.:
a,b \not\in \left\{ 0 \right\}

a^2 + b^2 \ge 2ab \\ a^2-2ab+b^2 \ge 0 \\ (a-b)^2 \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2016, o 17:42 
Administrator

Posty: 20790
Lokalizacja: Wrocław
ceanseer napisał(a):
Zał.:
a,b \not\in \left\{ 0 \right\}

Nieee. Rzucasz znaczkami bez opamiętania. Założenie jest takie "a i b są tego samego znaku".

ceanseer napisał(a):
a^2 + b^2 \ge 2ab \\ a^2-2ab+b^2 \ge 0 \\ (a-b)^2 \ge 0

Ale co to jest i co ma wspólnego z nierównością

\frac {a}{b} + \frac {b}{a} \ge 2\ ?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2016, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 79
Jan Kraszewski napisał(a):
ceanseer napisał(a):
a^2 + b^2 \ge 2ab \\ a^2-2ab+b^2 \ge 0 \\ (a-b)^2 \ge 0
Ale co to jest i co ma wspólnego z nierównością

\frac {a}{b} + \frac {b}{a} \ge 2\ ?

JK

Jest przekształceniem równoważnym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2016, o 17:41 
Użytkownik

Posty: 12839
Lokalizacja: Bydgoszcz
ceanseer napisał(a):
Jan Kraszewski napisał(a):
ceanseer napisał(a):
a^2 + b^2 \ge 2ab \\ a^2-2ab+b^2 \ge 0 \\ (a-b)^2 \ge 0
Ale co to jest i co ma wspólnego z nierównością

\frac {a}{b} + \frac {b}{a} \ge 2\ ?

JK
Jest przekształceniem równoważnym.

Pewnie jest, ale z zapisu tego nie widać. Co więcej, nie widać związku między jednym a drugim.

Po raz kolejny masz potwierdzenie, że dowód matematyczny to nie ciąg znaczków, tylko opis, również z użyciem języka polskiego, pewnego rozumowania, które prowadzi od założenia do tezy.

Zauważ, że zgodnie z Twoją filozofią wystarczyłoby napisać jedna linijkę:
(a-b)^2\geq 0. Wszak to też przekształcenie równoważne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2016, o 18:00 
Administrator

Posty: 20790
Lokalizacja: Wrocław
Ale ogólnie masz już prawie wszystko, co trzeba, pozostaje to poukładać.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2016, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 79
Zał.: \frac {a}{b}, ab > 0

\frac {a}{b} + \frac {b}{a} \ge 2 \\
\frac {a}{b} \cdot \frac {a}{a} + \frac {b}{a} \cdot \frac {b}{b} \ge 2 \\
\frac {a^2+b^2}{ab} \ge 2 / \cdot ab \\
a^2 + b^2 \ge 2ab \\ 
a^2-2ab+b^2 \ge 0 \\ 
(a-b)^2 \ge 0

Teza została przekształcona do nierówności (a-b)^2 \ge 0 i tym samym jest jej równoważna. Iloczyn 2 wyrazów o tym samym znaku daje liczbę dodatnią, więc teza jest prawdziwa.

Dobrze?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 26 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Poprawność dowodu - zadanie 3  ceanseer  3
 Poprawność dowodu - zadanie 4  ceanseer  7
 Poprawność dowodu  romen  3
 Poprawnosc rownosci  Hołek  1
 Poprawność przekształceń.  lukaszml  16
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl