szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 18:50 
Użytkownik

Posty: 96
Znaleźć funkcję f(n) (w postaci zwartej) taką, że \sum_{k=1}^{n} k^{1.23} \sim f(n).

Przez f \sim g rozumiemy, że f, g są asymptotycznie takie same, tj. \frac{f(n)}{g(n)} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2016, o 18:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13223
Lokalizacja: Wrocław
Może spróbuj użyć twierdzenia o rekurencji uniwersalnej??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2016, o 15:55 
Użytkownik

Posty: 96
Przyznam, że nie bardzo widzę w jaki sposób.
Czy w tym wypadku zależność rekurencyjną definiujemy jako s_n = k^{1.23} + s_{n-1},\ s_1 = 1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2016, o 17:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13223
Lokalizacja: Wrocław
lennyh, bardzo Cię przepraszam, raczej nie da się tego zrobić z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej, tak to jest, kiedy za mało się wczytuję w twierdzenia i metody, które znajduję w necie.

Widzimy, że
\sum_{k=1}^{n} k^{1.23} =n^{2,23} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\left( \frac k n\right)^{1.23}, a jak wiadomo z analizy I czy tam II (sumy całkowe Riemanna i tak dalej),
w szczególności \lim_{n \to  \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}f\left(  \frac{k}{n} \right) = \int_{0}^{1}f(x) \ \dd x dla funkcji f ciągłej w [0,1], zatem biorąc
f(x)=x^{1.23}, dostajemy
\lim_{n \to  \infty }\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\left( \frac k n\right)^{1.23}= \int_{0}^{1}x^{1.23} \ \dd x= \frac{1}{2.23}x^{2.23}\bigg|^1_0= \frac{100}{223}, więc
dla s_n=\sum_{k=1}^{n} k^{1.23} mamy:
\lim_{n \to  \infty } \frac{s_n}{ \frac{100}{223}n^{2.23} }=1,
toteż szukana funkcja to f(n)= \frac{100}{223}n^{2.23}.

Jeszcze raz przepraszam za to zamieszanie, dlatego w ramach rekompensaty rozwiązałem całe zadanie.

-- 21 paź 2016, o 18:05 --

Ciekawe, czy tę f(n) da się "wydobyć" bardziej elementarnie, jednak mój śmiesznie niski potencjał intelektualny nie wystarczył na znalezienie takiego sposobu w sensownym czasie, a jednak mam też inne zajęcia (książki>matma).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Postać zwarta sumy - zadanie 3  splinter  1
 Postać zwarta sumy  Dycu  1
 Postać zwarta sum.  Stonek007  3
 Obliczyć sumy  Watari  2
 Podzbiór l. naturalnych i sumy jego podzbiorów - dowód  piotr93w  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl