Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

zadania

Strona 1 z 1

[ Posty: 9 ]

Autor

Wiadomość

Lyzka

Tytuł: wariacje/kombinacje -> zadania

Napisane: 24 paź 2016, o 02:59

Posty: 521
Lokalizacja: Polska

Na samym wstępię napiszę że mam problem z odróżnieniem kiedy co się stosuje. Kiedy wariacje kiedy kombinacje. Np jaka jest różnica między wariacją z powtórzeniami a zwykłą permutacją z powtórzeniami. I tu i tu ważna jest kolejność. Chyba...

1. Każdy z siedmiu uczestników ma dwie kule: czarną i białą i wrzuca do urny dokładnie jedną z nich.
a) Ile istnieje możliwych układów kul w urnie?
b) Ile istnieje możliwych układów, jeśli każdemu z uczestników wolno wstrzymać się od głosu?

AD 1. a) $\overline{V_2^7}=2^7=128$
AD 1. b) $\overline{V_2^7} + \overline{V_2^6}+\overline{V_2^5}+\overline{V_2^4}+\overline{V_2^3}+\overline{V_2^2}+\overline{V_2^1}$
Nie wiem czemu ale w rozwiązaniach z zajęć mam jeszcze $+ \overline{V_2^0}$
Skąd to to??

2. Iloma sposobami można dokonać przydziału sześciu grup ćwiczeniowych trzem asystentom, jeśli najpierw wybiera asystent I dwie grupy, potem II asystent dwie grupy a III obejmuje pozostałe dwie?

AD 2. ${6\choose 2}{4\choose 2}{2\choose 2}= \ldots$

3. Mamy 7 korali czarnych i 3 białe. Ile rodzajów sznurków można z nich ułożyć, jeśli ustalimy początek i koniec sznurka?

AD 3. Czy te korale są nierozróżnialne? Prawidłowe rozwiązanie to: $\frac{10!}{3!7!}$ , czyli permutacje z powtórzeniami. A dlaczego tu np nie można skorzystać ze wzoru na wariacje z powtórzeniami?

4. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których powtarzać się mogą dwukrotnie jedynie cyfry 1 i 2?

AD 4. $\left( \overline{V_2^9} \cdot \overline{V_2^{10}} \cdot 10^2\right)+\left( 9 \cdot \overline{V_2^{10}} \cdot 2 \cdot 10 \cdot 2\right)$

na pierwszym miejscu nie liczymy $0$ , czyli wariacja $\overline{V_2^9}$ na drugim można $0$ czyli wariacja $\overline{V_2^{10}}$ na dwóch ostatnich miejscach $10^2$ dodać $9$ możliwości na pierwszym miejscu $\overline{V_2^{10}}$ razy dwa bo można ustawić na $2$ i $3$ pozycji oraz $3$ i $4$ pozycji $\cdot 10 \cdot 2$ bo na dwóch pozycjach mamy po $10$ możliwości ??

5. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć używając tylko cyfr $1,2,3$ i zakładając dodatkowo, że cyfra $1$ wykorzystana będzie tylko dwa razy?

AD 5. Cyfra $1$ tylko dwa razy czyli ${6\choose 2}$ czy $\overline{V_2^6}$
potem mnożymy jeszcze przez $2^4$

6. Na ile sposobów można usadzić $n$ $\quad$ $(n \ge 2)$ osób przy okrągłym stole b) na ławce, tak aby dwie określone osoby siedziały obok siebie?

Może ktoś to zrobi prawidłowo i wytłumaczy?

7. Ile można napisać liczb czterocyfrowych zaczynających się od $2,5$ lub $9$ , w których żadna cyfra nie powtarza się?

${3\choose 1} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$

8. W kinie jest dwieście miejsc. Obliczyć na ile sposobów można tam rozmieścić pięćdziesięciu widzów, zakładając, że ich nie rozróżniamy?

To pewnie głupota, ale czy ${200\choose 50}$ ?? :mrgreen:

9. Danych jest $k$ przedmiotów typu $I$ i $l$ przedmiotów typu $II$ . Obliczyć na ile sposobów możne je wszystkie rozmieścić w $n$ różnych szufladach.

AD 9.
gdy $k> l \qquad {n\choose k} \cdot {{n-k}\choose {k-l}}$
gdy $k< l \qquad {n\choose k} \cdot {{n-k}\choose {l-k}}$
??

10. $N$ osób wśród których są $A$ i $B$ , można ustawić w kolejce na $N!$ sposobów. Obliczyć na ile sposobów można dokonać ustawienia, takiego że dokładnie $2$ osoby ( $N \ge 4$ , oraz $A$ stoi przed $B$ ) znajdują się między $A$ i $B$ .

AD 10. Wg mnie jest tylko jedna możliwość gdy $A$ stoi na samym początku.

I teraz zadania do których pomysłów mi zabrakło.

11. Sformułować i udowodnić prawa de Morgana (dla n>2) zbiorów.
12. Wykazać, że $(A')'=A$

Proszę o sprawdzenie, dokończenie i wyprowadzenie z błędów. Tyle ile potrafiłam tyle zrobiłam

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

SlotaWoj Offline

Tytuł: wariacje/kombinacje -> zadania

Napisane: 24 paź 2016, o 04:14

Posty: 4240
Lokalizacja: Kraków PL

Kombinacją jest podzbiór, a wariacją ciąg elementów zbioru skończonego.

Góra

Lyzka

Tytuł: wariacje/kombinacje -> zadania

Napisane: 24 paź 2016, o 18:39

Posty: 521
Lokalizacja: Polska

A co z tymi zadaniami, może je ktoś sprawdzić?

Góra

Mruczek Offline

Tytuł: wariacje/kombinacje -> zadania

Napisane: 24 paź 2016, o 18:45

Posty: 1070
Lokalizacja: Lublin/Warszawa

1. a) Ja szczerze mówiąc nie rozumiem dlaczego tutaj korzystasz z wariacji z powtórzeniami - zakładasz tak jakby kule każdej z osób były rozróżnialne. Wg mnie kule tego samego koloru są nierozróżnialne, czyli jest tylko $8$ układów: jest $0$ białych i $7$ czarnych; $1$ biała i $6$ czarnych; ...; $7$ białych i $0$ czarnych.

2. Jest ok.

3. Korale o tym samym kolorze są nierozróżnialne. Można też powiedzieć, że mamy $10$ miejsc i wybieramy z nich $7$ dla koralów koloru czarnego - wtedy będą to kombinacje.

8. Ok.

Góra

Lyzka

Tytuł: wariacje/kombinacje -> zadania

Napisane: 13 lis 2016, o 02:06

Posty: 521
Lokalizacja: Polska

1. Nie wiem, nie jestem dobra z prawdopodobieństwa, tak miałam w notatkach. Choć tego nie rozumiem. Może chodziło o to, że układy są rozróżnialne? Więc wtedy kolejność będzie ważna, a elementy będą mogły się powtarzać.

4. Dobrze rozwiązane czy nie?

5,6,7 -> już rozumiem.

9. Nie wiem jak się tego podjąć.

10,11,12. Dalej nie wiem, ale te są mniej ważne dla mnie.

Reasumując: proszę o pomoc w 4 i 9 i dziękuję za pomoc.

Góra

arek1357 Offline

Tytuł: wariacje/kombinacje -> zadania

Napisane: 13 lis 2016, o 03:09

Posty: 3224
Lokalizacja: blisko

Do korali użyć trzeba teorii grup i twierdzenia Polyi.
Grupa obrotów 10 kąta, albo grupa izometrii tegoż dziesięciokąta czyli obroty i symetrie względem osi. A z tym ustaleniem początku i końca jest to ułatwienie grubymi nićmi szyte.

Co do zadani 9 uważam, że rozwiązanie jest złe bo nie uwzględnia sytuacji gdy przedmioty obu typów leżą w jednej szufladzie a w zadaniu nie ma takich obostrzeń.
Tam musisz stosować kombinacje z powtórzeniami.

Góra

Lyzka

Tytuł: wariacje/kombinacje -> zadania

Napisane: 14 lis 2016, o 06:02

Posty: 521
Lokalizacja: Polska

1. Wiem dlaczego wariacje. Otóż. W tym wypadku kolejność jest ważna, bo rozpatrujemy układy, a te są rozróżnialne. Będą układy takie jak podałeś, ale kule białe i czarne będą na różnych miejscach. Np $1$ biała i $6$ czarnych to mogą być przykładowe układy: $b,c,c,c,c,c,c$ lub $c,b,c,c,c,c,c$ itd. no i są potwórzenia czyli wariacja z powtórzeniami.

3. już ogarnęłam, nie trzeba do nich skorzystać z tw Poyla. Po prostu kolejność będzie w nich ważna i elementy mogą się powtarzać, przy czym dodatkowo mieszamy cały zbiór ze sobą, z czego wynika że będą to premutacje z powtórzeniami. To tak po mojemu.

9. Czy tu nie trzeba użyć wariacji z powtórzeniami? btw tu chodzi o to że w każdej szufladzie ma być jeden przedmiot czy jak? chodzi mi że np gdy $n=3$
to pierwsza opcja: pierwszej szufladzie jeden przedmiot typu I w drugiej znów jeden typu I a w trzeciej jeden typu II.
druga opcja: pierwszej szufladzie jeden przedmiot typu I w drugiej znów jeden typu II a w trzeciej jeden typu I.
itd

Góra

SlotaWoj Offline

Tytuł: wariacje/kombinacje -> zadania

Napisane: 14 lis 2016, o 07:40

Posty: 4240
Lokalizacja: Kraków PL

Lyzka napisał(a):

Układy nie są rozróżnialne. Jeżeli wśród siedmiu kul w urnie jedna jest biała, nie wiemy, jako która została wrzucona.

Góra

Lyzka

Tytuł: wariacje/kombinacje -> zadania

Napisane: 16 lis 2016, o 22:37

Posty: 521
Lokalizacja: Polska

A dobra dzięki już wszystko jasne

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 9 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
jak rozróżnic wariacje bez powtórzen od kombinacji??	pnl5	19
Zadania testowe - pemutacje, zwracanie :)	Anonymous	2
Ciagi i kombinacje.	Anonymous	7
Wariacje z powtorzeniami : wzor	hipero	3
Wariacje z powtórzeniami ??	kaarol	0

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]