szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2016, o 14:39 
Użytkownik

Posty: 73
Udowodnić, że jeśli abc=1 i a,b,c>0, to \frac{a}{b+c+1}  +  \frac{b}{c+a+1} + \frac{c}{a+b+1} \ge 1 .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2016, o 15:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10812
Lokalizacja: Wrocław
Z założeń zadania wynika istnienie takich liczb rzeczywistych dodatnich x,y,z, że:
a= \frac{x^2}{yz}, b= \frac{y^2}{zx}, c= \frac{z^2}{xy}
- w ten sposób pozbywamy się warunku z iloczynem.
Po podstawieniu mamy równoważną wyjściowej postać:
\frac{x^3}{y^3+z^3+xyz}+ \frac{y^3}{x^3+z^3+xyz}+ \frac{z^3}{x^3+y^3+xyz} \ge 1
Oczywiście z AM-GM mamy: xyz \le  \frac{x^3+y^3+z^3}{3}
Zatem prawdą jest:
\frac{x^3}{y^3+z^3+xyz}+ \frac{y^3}{x^3+z^3+xyz}+ \frac{z^3}{x^3+y^3+xyz} \ge \\ \ge  \frac{3x^3}{x^3+4y^3+4z^3}+ \frac{3y^3}{4x^3+4z^3+y^3}+ \frac{3z^3}{4x^3+4y^3+z^3}
Wystarczy więc pokazać, że:
\frac{3x^3}{x^3+4y^3+4z^3}+ \frac{3y^3}{4x^3+4z^3+y^3}+ \frac{3z^3}{4x^3+4y^3+z^3} \ge 1 w dodatnich.
Po przyjęciu nowych zmiennych dodatnich p=x^3,q=y^3, r=z^3 mamy:
\sum_{}^{} \frac{3p}{p+4q+4r} \ge 1,
Wobec jednorodności możemy tu przyjąć p+q+r=1 i nierówność wynika natychmiast z Jensena dla wypukłej w przedziale (0,1)(a taki nas interesuje, skoro przyjęliśmy p+q+r=1 i dodatnie) f(t)=\frac{3}{4-3t}, wag p,q,r i argumentów
p,q,r.
Aha, sorry, jeszcze na końcu trzeba argumentować, że p^2+q^2+r^2 \ge \frac 1 3,
ale to proste, bo z nierówności Schwarza mamy (1^2+1^2+1^2)(p^2+q^2+r^2)\ge (p+q+r)^2.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 paź 2016, o 17:01 
Użytkownik

Posty: 1285
Dość ładnie wychodzi też z samego C-S + AM-GM:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2016, o 18:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
Premislav napisał(a):
Z założeń zadania wynika istnienie takich liczb rzeczywistych dodatnich x,y,z, że:
a= \frac{x^2}{yz}, b= \frac{y^2}{zx}, c= \frac{z^2}{xy}
- w ten sposób pozbywamy się warunku z iloczynem.
Po podstawieniu mamy równoważną wyjściowej postać:
\frac{x^3}{y^3+z^3+xyz}+ \frac{y^3}{x^3+z^3+xyz}+ \frac{z^3}{x^3+y^3+xyz} \ge 1
na pierwszy rzut oka nie widać, dlaczego takie liczby x,y,z istnieją, ale przecież wystarczy wziąć x=\sqrt[3]a, y=\sqrt[3]b, z=\sqrt[3]c

nie lepiej więc po prostu napisać: podstawmy x=\sqrt[3]a, y=\sqrt[3]b, z=\sqrt[3]c?

jeszcze inaczej :arrow::    
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 paź 2016, o 18:41 
Użytkownik

Posty: 1285
Nierówność jest łatwa, to się można teraz pastwić do woli.
Ukryta treść:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl