szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 01:09 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Rzeszów
Uczę się rozwiązywać nierówności korzystając z nierówności Jensena i to jest pierwszy przykład, który mi nie wychodzi:

x \sqrt{y+z} + y \sqrt{x+z} + z \sqrt{x+y} \le  \sqrt{2(x+y+z)(xy+zy+xz)}

Próbowałem dla funkcji wklęsłej \sqrt{x}, za argumenty podstawiłem x^{2}(z+y), y^{2}(z+x), z^2(x+y) a współczynnik dałem a= \frac{1}{3}
i niby coś wychodzi ale nie dowodzi to tej nierówności. Jakby ktoś mógł dać jakąś wskazówkę jak tu skorzystać z Jensena to byłbym wdzięczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 01:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9855
Lokalizacja: Wrocław
Można podzielić stronami przez x+y+z i nierówność przyjmuje formę:
\frac{x}{x+y+z} \sqrt{y+z}+ \frac{y}{x+y+z}\sqrt{x+z}+ \frac{z}{x+y+z}\sqrt{x+y} \le  \sqrt{ \frac{2(xy+zy+xz)}{x+y+z} }
Następnie Jensen dla f(t)=\sqrt{t} oraz wag \frac{x}{x+y+z}, \frac{y}{x+y+z}, \frac{z}{x+y+z} oraz argumentów y+z,x+z,x+y daje:

\frac{x}{x+y+z} \sqrt{y+z}+ \frac{y}{x+y+z}\sqrt{x+z}+ \frac{z}{x+y+z}\sqrt{x+y} \le \\ \le \sqrt{ \frac{xy+xz+xy+yz+zx+zy}{x+y+z} },
a to jest teza właśnie.

-- 26 paź 2016, o 00:29 --

Nieco inne rozwiązanie: nierówność jest jednorodna stopnia \frac 3 2 czy jakoś tak (tj. jeśli dla t>0 w miejsce x,y,zpodstawisz tx,ty,tz, to nic się nie zmieni - dzielisz stronami przez dodatnie t^{\frac 3 2} i znowu masz to samo), więc bez straty ogólności możemy przyjąć, że x+y+z=1.
Z nierówności Jensena dla wklęsłej f(t)=\sqrt{t}, wag x,y,z oraz argumentów z+y,x+z,x+y odpowiednio mamy
x \sqrt{y+z} + y \sqrt{x+z} + z \sqrt{x+y} \le  \sqrt{xy+xz+yx+yz+zx+zy}=\sqrt{2(x+y+z)(xy+xz+yz)} (bo przyjęliśmy x+y+z=1), c.k.d.

-- 26 paź 2016, o 00:51 --

Ponieważ zadania z wnioskowania statystycznego idą mi jak krew z nosa, to fakultatywnie znalazłem jeszcze dowód z użyciem nierówności Cauchy'ego-Schwarza:
2(x+y+z)(xy+zy+zx)=(x+y+z)(xy+zx+zy+zx+zy+xy)=\\=\left( (\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2+(\sqrt{z})^2\right)\left((\sqrt{xy+zx})^2+(\sqrt{zy+xy})^2+(\sqrt{zx+zy})^2 \right) \ge \\ \ge \left(\sqrt{x}\sqrt{xy+zx}+\sqrt{y}\sqrt{zy+xy}+\sqrt{z}\sqrt{zx+zy} \right)^2,
pierwiastkujemy stronami i voila (prawdę mówiąc, to ja właśnie w tej "spierwiastkowanej" formie poznałem nierówność Cauchy'ego-Schwarza - na algebrze liniowej 2 bodajże, ale piszę wg popularniejszej wersji).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 14:14 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Rzeszów
Dzięki za pomoc. Co prawda tych dwóch kolejnych rozwiązań jeszcze nie rozumiem ale na pewno mi się przydadzą, bo lubię nierówności i szukam nowych narzędzi żeby rozwiązywać sobie te trudniejsze (trudniejsze dla kogoś kto do tej pory wszystkie robił ze średnich/wzorów skróconego mnożenia :D)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl