szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Gdańsk
Dobry wieczór. Spróbujmy znaleźć rozwiązania poniższego równania:

\sqrt{2x-3}+ \sqrt{4x+1}=4

Dziedziną tego równania będzie:

x \ge  \frac{3}{2} oraz x \ge - \frac{1}{4}, czyli x \in \left\langle\frac{3}{2}; + \infty \right)

Okej. Tylko co teraz? Myślałem, żeby dane równanie przekszałcić w następujący sposób:

\sqrt{2x-3} = 4 -  \sqrt{4x+1}

Jak rozumiem, lewa strona powyższego równania jest nieujemna, natomiast prawa strona będzie, gdy:

4 -  \sqrt{4x+1}  \ge 0  \Rightarrow  \sqrt{4x+1}  \ge 4  \Rightarrow 0   \le  4x+1  \le 4 \Rightarrow  x \ge   -\frac{1}{4}  \wedge x \le  \frac{3}{4}  \Rightarrow\\  \Rightarrow  x \in \left\langle - \frac{1}{4};  \frac{3}{4} \right\rangle
I wówczas możemy podnieść obie strony równania do kwadratu?:

2x-3 = 16 - 8 \sqrt{4x+1} + 4x +1

Wówczas po uporządkowaniu (i podzieleniu obustronnym przez -2) mamy:

x + 10 = 4 \sqrt{4x+1}

W tym momencie należy znów sprawdzić kiedy tym razem lewa strona równania będzie większa od zera (gdyż prawa jest nieujemna)? Jeśli tak, otrzymujemy:

x + 10 > 0  \Rightarrow  x > -10

I w tej sytuacji można podnieść znów obustronnie nasze równanie do kwadratu, co daje:


x^{2} + 20x + 100 = 16(4x+1), a po redukcji wyrazów podobnych:

x^{2} - 44x + 84 = 0

Okej. Mamy trójmian kwadratowy, w którym \Delta = 1600 , czyli \sqrt{\Delta} = 40

Wobec tego pierwiastkami równania będą odpowiednio:

x_{1} = 2, \\
 x_{2} = 42

Jeśli mój tok rozumowania i sam sposób rozwiązania jest dobry, co teraz? Z czym te wyniki teraz porównywać? Z naszą dziedziną i założeniami? Którymi, skoro były dwa?
Prosiłbym o pomoc, wyjaśnienie i ewentualną poprawkę, jeśli w rozwiązaniu znajdują się błędy.
Jeśli to nie ten dział, przepraszam. Nie znalazłem odpowiedniego do tego typu zadania.

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 21:32 
Użytkownik

Posty: 22349
Lokalizacja: piaski
Bardzo skomplikowany sposób wybrałeś.

Do równań pierwiastkowych mamy wygodny sposób - ,,analiza starożytnych" (poczytaj).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 21:40 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Gdańsk
Oczywiście przeczytam, natomiast Pani dr z wykładów z mojej uczelni naciska na tego typu rozwiązania, które przedstawiłem wyżej. Wymaga, aby przy zamiarze obustronnego podnoszenia do kwadratu pisać analogiczne założenia itd. Tak więc muszę również opanować taką metodę, stąd napisałem ten post i pytam o poprawność obliczeń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 21:49 
Użytkownik

Posty: 22349
Lokalizacja: piaski
Teraz sprawdź z dziedziną i wyjdzie Ci brak rozwiązań - a rozwiązanie jest.

To co zauważyłem : \sqrt{4x+1}\le 4 źle rozwiązałeś.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Gdańsk
4x+1 musi być większe od 4 i mniejsze od 0, czy nie?
Wówczas: 0  \le  4x +1  \le 4? A więc x  \in \left\langle - \frac{1}{4};  \frac{3}{4}  \right\rangle, jak napisałem wyżej. Gdzie jest błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 22:04 
Użytkownik

Posty: 22349
Lokalizacja: piaski
Pierwiastek ma spełnić te warunki, a nie to co pod nim jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 22:10 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Gdańsk
Co w takim razie wynika z tego zapisu:

4-  \sqrt{4x+1}  \ge 0 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 22:14 
Użytkownik

Posty: 22349
Lokalizacja: piaski
piasek101 napisał(a):

To co zauważyłem : \sqrt{4x+1}\le 4 źle rozwiązałeś.

Mamy tę nierówność.

Patrz jeśli \sqrt x < 5 to czy x<5 ? Nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2016, o 22:33 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Gdańsk
Chyba już ogarniam.
Wychodzi, że jeśli:

0  \le  \sqrt{4x+1}  \le 4,

to:

0  \le  4x+1  \le  16, a więc tutaj przedział będzie wyglądał następująco: x \in \left\langle - \frac{1}{4};  \frac{15}{4} \right\rangle

A w tym przedziale mieści się jeden z pierwiastków późniejszego równania kwadratowego: x =2 i to będzie jedynym rozwiązaniem całego równania. Czy teraz pod względem merytorycznym jest wszystko ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 paź 2016, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 22349
Lokalizacja: piaski
Wg mnie tak (chociaż czytałem pobieżnie).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie pierwszego stopnia.  _rois_  8
 Równanie z pierwiastkiem  robert179  1
 równanie - zadanie 6  robert179  7
 trudne równanie  wasnio  1
 Równanie z wykorzystanie wzoru na połowiczy rozpad pierwast.  Fencek  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl