szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 27 paź 2016, o 08:40 
Użytkownik

Posty: 277
Lokalizacja: Opole
Wykaż, że a^{4} + b^{4} \ge  \frac{1}{8} \left(  a+b \right)^{4}. Możliwie bez użycia nierówności "Ytonga-Potiomkina" :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 paź 2016, o 09:32 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Dwa pomysły:
\sqrt[4]{ \frac{a^4+b^4}{2} } \ge  \frac{a+b}{2}
z nierówności między średnimi potęgowymi, podnosimy to do potęgi czwartej i mnożymy stronami przez 2, koniec (ale czy liczby są dodatnie?).

Po wymnożeniu stronami przez 8 i otworzeniu nawiasu(!) mamy równoważnie
7(a^4+b^4)\ge 4a^3b+6a^2b^2+4ab^3, a po przeniesieniu na jedną stronę:
3(a^2-b^2)^2+4(a-b)^2\left(  \frac{a^2+b^2}{2}+ \frac{(a+b)^2}{2}  \right) \ge 0,
a to jest prawdą dla dowolnych liczb rzeczywistych.

-- 27 paź 2016, o 09:34 --

A ten pierwszy sposób dla ujemnych można by naprawić tak:
\frac{|a|+|b|}{2} \ge \frac{|a+b|}{2}
z nierówności trójkąta i oczywiście dla dowolnych rzeczywistych mamy
(|a|+|b|)^4 \ge (|a+b|)^4=(a+b)^4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 paź 2016, o 09:43 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
Dla dowolnych a , b mamy a^{2} + b^{2}  \ge  \frac{\left( a+b\right)^{2} }{2} ( to jest banalna nierówność ), skąd
a^{4} + b^{4}  \ge  \frac{\left( a^{2}+b^{2}\right)^{2} }{2}  \ge  \frac{ \left( \frac{\left( a+b\right)^{2} }{2}\right)^{2}  }{2}= \frac{\left( a+b\right)^{4} }{8}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność do udowodnienia - zadanie 3  delightful  2
 Nierówność do udowodnienia - zadanie 8  plagyat  1
 nierówność do udowodnienia - zadanie 9  Czeczot  8
 nierówność do udowodnienia - zadanie 10  Czeczot  6
 Nierówność do udowodnienia  wdsk13  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl