szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 paź 2016, o 15:31 
Użytkownik

Posty: 81
Podaj równanie prostej w przestrzeni w postaci normalnej, jeżeli wiadomo, że prosta jest wyznaczona przez przecięcie płaszczyzn \vec{r} \cdot \vec{ a_{1}}= \alpha  _{1} oraz \vec{r} \cdot \vec{ a_{2}}=  \alpha _{2} , gdzie \vec{a_{1}}= \vec{i} +  \vec{k}  ,  \vec{a_{2}}= \vec{i} , \alpha_{1}=2, \alpha_{2}=-3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2016, o 17:03 
Użytkownik

Posty: 3483
Rysunek (dwie przecinające się proste (przekroje płaszczyzn) z wektorami do nich odpowiednio prostopadłymi \vec{a_{1}}, \ \  \vec{a_{2}} ).

Wektor \vec{c} = \vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}} jest prostopadły do płaszczyzny rysunku jest więc równoległy do szukanej prostej.


Równanie prostej \vec{r}\times (\vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}) = \vec{b}

Nie znamy współrzędnych wektora \vec{b}. Gdybyśmy znali znali współrzędne dowolnego punktu na prostej to można byłoby obliczyć współrzędne tego wektora.

Szukanie współrzędnych takiego punktu nie jest jednak konieczne.

Uwzględnijmy podwójny iloczyn wektorowy:

\vec{r}\times (\vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}) = (\vec{r}\cdot \vec{a_{2}})\cdot \vec{a_{1}} - (\vec{r}}\cdot \vec{a_{1}})\cdot \vec{a_{2}}

Punkty \vec{r} leżące na prostej - należą jednocześnie do obu płaszczyzn.

Dla dowolnego punktu na prostej muszą więc zachodzić:

\vec{r}\cdot \vec{a_{1}} = \alpha_{1}, \ \ \vec{r}\cdot \vec{a_{2}} = \alpha_{2}.

Pozwala to nam obliczyć wektor \vec{b}, a mianowicie

\vec{r}\times (\vec{a_{1}}\times \vec{a_{2}}) = (\vec{r}\cdot \vec{a_{2}})\cdot \vec{a_{1}} - (\vec{r}}\cdot \vec{a_{1}})\cdot \vec{a_{2}}= \alpha_{2}\cdot \vec{a_{1}} - \alpha_{1}\cdot \vec{a_{2}}.

Podstawiamy dane:

\vec{r}\times [\left (\vec{i}+\vec{k})\times \vec{i} \right] = -3(\vec{i} +\vec{k} )- 2\vec{i}.

\vec{r}\times ( \vec{i}\times \vec{i}+ \vec{k}\times \vec{i}) = -5\vec{i} - 3\vec{k}.

Stąd równanie prostej:

\vec{r}\times \vec{j} = -5\vec{i} - 3\vec{k}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prosta w przestrzeni - zadanie 3  CzemuJa  2
 prosta w przestrzeni  Saladyn  0
 Prosta na płaszczyźnie-równanie,przebieg  Tommy  1
 prosta i płaszczyzna w przestrzeni  marc20in  1
 Prosta w postaci krawędziowej, punkty, wektory - kilka pytań  engineeer  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl