szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2016, o 21:34 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Kraków
Niech a i b będą dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że a + b > 0. Pokaż, że liczby \frac{a}{NWD\left( a,b\right)}, \frac{b}{NWD\left( a,b\right)} są względnie pierwsze

Każdą liczbę możemy zapisać jako iloczyn liczb pierwszych, wtedy powiedzmy, że ich reprezentacja wygląda tak:

a = a_{1}^{ \alpha _{1}}  \cdot  a_{2}^{ \alpha _{2}}  \cdot  \ldots  \cdot  a_{i}^{ \alpha _{i}}\\ 
 b = b_{1}^{ \beta _{1}}  \cdot   b_{2}^{ \beta _{2}}  \cdot   \ldots  \cdot  b_{i}^{ \beta _{i}}

Skoro NWD(a,b) = k_{1}^{ \min \left( \alpha_{1}, \beta_{1}\right) }  \cdot   k_{2}^{ \min \left( \alpha_{2}, \beta_{2}\right) }   \cdot   \ldots  \cdot  k_{i}^{ \min \left( \alpha_{i}, \beta_{i}\right) }

Oznacza, że NWD zawiera wszystkie wspólne dzielniki liczb a,b. Zatem \frac{a}{NWD\left( a,b\right)} oraz \frac{b}{NWD\left( a,b\right)} to liczby bez wspólnych dzielników zatem liczby \frac{a}{NWD\left( a,b\right)}, \frac{b}{NWD\left( a,b\right)} są względnie pierwsze, bo ich NWD wynosi 1.



Co sądzicie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2016, o 07:40 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
kaetae napisał(a):
Zatem \frac{a}{NWD\left( a,b\right)} oraz \frac{b}{NWD\left( a,b\right)} to liczby bez wspólnych dzielników zatem liczby \frac{a}{NWD\left( a,b\right)}, \frac{b}{NWD\left( a,b\right)} są względnie pierwsze, bo ich NWD wynosi 1.

No dobrze, ale dlaczego? Wnioskujesz tezę o tak, po prostu, bo wydzieliłaś liczby przez ich NWD. Gdybyśmy mogli pomachać rękami, Twój dowód "przeszedłby".

Dlaczego właściwie wydzielenie przez NWD powoduje, że liczby stają się względnie pierwsze?

Jeżeli interesuje Cię inne, według mnie mniej porażające znaczkowo, zajrzyj poniżej:
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2016, o 18:15 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
Dlaczego właściwie wydzielenie przez NWD powoduje, że liczby stają się względnie pierwsze?


NWD to również liczba postaci
a = a_{1}^{ \alpha _{1}} \cdot a_{2}^{ \alpha _{2}} \cdot \ldots \cdot a_{i}^{ \alpha _{i}}\\ b = b_{1}^{ \beta _{1}} \cdot b_{2}^{ \beta _{2}} \cdot \ldots \cdot b_{i}^{ \beta _{i}}

będący największym wspólnym dzielnikiem obu liczb oraz zawierająca wszystkie, inne dzielniki wspólne obu liczb. Zatem po przedzieleniu tych liczb przez wspólne dzielniki mamy liczby bez wspólnych dzielników.

q_{a}= \frac{a_{1}^{ \alpha _{1}} \cdot a_{2}^{ \alpha _{2}} \cdot \ldots \cdot a_{i}^{ \alpha _{i}}}{k_{1}^{ \min \left( \alpha_{1}, \beta_{1}\right) } \cdot k_{2}^{ \min \left( \alpha_{2}, \beta_{2}\right) } \cdot \ldots \cdot k_{i}^{ \min \left( \alpha_{i}, \beta_{i}\right) }}
\\
q_{b}= \frac{b_{1}^{ \beta _{1}} \cdot b_{2}^{ \beta _{2}} \cdot \ldots \cdot b_{i}^{ \beta _{i}}
}{k_{1}^{ \min \left( \alpha_{1}, \beta_{1}\right) } \cdot k_{2}^{ \min \left( \alpha_{2}, \beta_{2}\right) } \cdot \ldots \cdot k_{i}^{ \min \left( \alpha_{i}, \beta_{i}\right) }}???

Tylko to mi przychodzi na myśl.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2016, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 13263
Lokalizacja: Bydgoszcz
A może tak:
jeżeli k|\frac{a}{NWD(a,b)} i k|\frac{b}{NWD(a,b)}, to
k\cdot NWD(a,b)|a i k\cdot NWD(a,b)|b.

Zatem k\cdot NWD(a,b)\leq NWD(a,b), (bo NWD jest NAJWIĘKSZYM dzielnikiem OBU liczb) czyli k=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2016, o 07:21 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
kaetae napisał(a):
Zatem po przedzieleniu tych liczb przez wspólne dzielniki mamy liczby bez wspólnych dzielników.

Ale to właśnie musisz pokazać - weź liczbę naturalną k i uzasadnij, że nie może ona dzielić tak otrzymanych liczb jednocześnie.

P.S. a4karo podaje, jak to zrobić.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 6 sty 2017, o 11:14 
Użytkownik

Posty: 127
Lokalizacja: Warszawa
a4karo, mógłbyś wyjaśnić, jak doszedłeś do przejścia k|\frac{a}{NWD(a,b)} \implies k\cdot NWD(a,b)|a, bo rozwiązanie wygląda na ciekawe :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2017, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 13263
Lokalizacja: Bydgoszcz
a|b \Rightarrow ac|bc
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Dowód na poprawność zasady podzielności przez 9  magik100  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl