szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lis 2016, o 23:51 
Użytkownik

Posty: 188
Najprostszym przykładem na ogólne twierdzenie Stokesa jest
M=[a,b],\  \int_{[a,b]}df=\int_{\{ a\} \cup \{ b \}}f.
O ile z całką po lewej stronie nie mam problemu, to nie bardzo wiem, dlaczego całka po prawej stronie miałaby się równać
\int_{\{ a\} \cup \{ b \}}f=f(b)-f(a).
W szczególności nie wiem jak miałaby wyglądać orientacja rozmaitości takiej jak \{ a \}, ani co miałoby być jej układem współrzędnych, za pomocą którego mielibyśmy cofnąć 0-formę f. ;>
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2016, o 00:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 545
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Twierdzenie Stokesa stosuje się do orientowalnych rozmaitości M z brzegiem. Brzeg \partial M rozmaitości M sam w sobie jest rozmaitością i dziedziczy orientację z rozmaitości M. W tym konkretnym przypadku mamy M=[a,b].
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2016, o 15:31 
Użytkownik

Posty: 188
Nie powiedziałeś mi nic, czego bym nie wiedział. W dalszym ciągu nie wiem jak obliczyć \int_{\{ a\} \cup \{ b \}}f i czemu miało by być \int_{\{ a\} \cup \{ b \}}f=f(b)-f(a).
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 4 lis 2016, o 16:18 
Użytkownik

Posty: 11862
Lokalizacja: Bydgoszcz
To akurat nie jest prawdą, bo \{a\}\cup\{b\}=\{b\}\cup\{a\}, więc byłoby f(b)-f(a)=f(a)-f(b)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2016, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 188
To czy wyjdzie f(b)-f(a) czy f(a)-f(b) powinno zależeć od orientacji M=[a, b] i od indukowanej orientacji \partial M.

Żeby sparametryzować takie zerowymiarowe rozmaitości chyba trzeba przyjąć za definicję \mathbb{R}^0:=\left\{ 0  \right\},\ 0\in \mathbb{R}. Parametryzacją rozmaitości jednopunktowej M:=\left\{p \right\},  \ p\in \mathbb{R}^n będzie g: W  \to \mathbb{R}^n,\ g(x):=p, gdzie W:=\left\{ 0 \right\}\subset \mathbb{R}^0. Obrazem zbioru W przez parametryzację g jest \left\{ p \right\}.

Zatem (używam oznaczeń z Analizy matematycznej Musielaka i Skrzypczaka) \int _{\left\{ p \right\}\left( \overset{\curvearrowright}{\tau} \right) }f =\int_{\left\{ 0 \right\} \left( \overset{\curvearrowright}{\tau_e} \right)}g^*f=\int_{ \left\{ 0\right\} } f \circ g, gdzie \overset{\curvearrowright}{\tau_e} - orientacja kanoniczna \mathbb{R}^0.

Tylko nie bardzo wiem co by miało być orientacją kanoniczną \mathbb{R}^0, ani jak wyliczyć całkę Lebesgue'a \int_{ \left\{ 0\right\} } f \circ g, :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2016, o 21:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 733
Lokalizacja: Warszawa
Warto przypomnieć sobie definicję orientacji i orientacji indukowanej, a potem przyłożyć ją do naszego skrajnego przypadku. Przestrzeń zerowymiarowa ma jedną bazę (a mianowicie pustą), więc są możliwe dwie orientacje - w jednej z nich pusta baza jest dodatnio zorientowana, a w drugiej ujemnie.

Orientacje na przestrzeniach zerowymiarowych są o tyle nieintucyjne, że dla każdego n \geqslant 1 istnieje funkcja liniowa \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n zmieniająca orientację, a dla n=0 nie.

Z kolei zero-formy na przestrzeni liniowej są zero-argumentowe (lub, jeśli ktoś woli, przyjmują argument pusty), czyli są to po prostu liczby. Przez zero-formę różniczkową f rozumiemy funkcję, która w punkcie p każdemu pustemu układowi wektorów przyporządkowuje liczbę f(p).

Możliwe orientacje jednopunktowej rozmaitości \{ p \} można utożsamiać ze znakami + i -. W pierwszym przypadku całka \int_{\{ p \}} f ma wartość f(p), a w drugim -f(p). Standardowa orientacja odcinka [a,b] indukuje na b orientację +, a na a orientację -. Stąd całka po brzegu wynosi f(b)-f(a).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2016, o 23:13 
Użytkownik

Posty: 188
Elvis napisał(a):
Przestrzeń zerowymiarowa ma jedną bazę (a mianowicie pustą), więc są możliwe dwie orientacje - w jednej z nich pusta baza jest dodatnio zorientowana, a w drugiej ujemnie.
Nie rozumiem, skoro przestrzeń zerowymiarowa ma tylko jedną bazę (zbiór pusty), to jak może mieć dwie orientacje? ;>
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 01:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 733
Lokalizacja: Warszawa
Można sformułować definicję orientacji następująco:
orientacja to przypisanie każdej bazie znaku + lub - w taki sposób, by
(1) każde dwie zgodne bazy miały ten sam znak,
(2) każde dwie niezgodne bazy miały przeciwne znaki.

W myśl tej definicji jedna baza daje dwie możliwe orientacje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 188
Heh, to według tego co piszesz baza (e_1,e_2,\ldots, e_n) też daje dwie możliwe orientacje \mathbb{R}^n, ale to trochę pokrętne tłumaczenie ;] A może po prostu orientowalność i orientację rozmaitości zerowymiarowych oraz zerowymiarowej przestrzeni liniowej trzeba zdefiniować oddzielnie? ;>
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 16:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 733
Lokalizacja: Warszawa
Trzeba to za mocne słowo, raczej można. Ja jestem zwolennikiem spójnej definicji - co prawda można na nią kręcić nosem, ale jeśli komuś zależy, zawsze może dla n \geqslant 1 przyjąć umowę, że wybór orientacji to wskazanie jednej bazy (i w domyśle: nazwanie ją dodatnio zorientowaną).

Mała dygresja: formy antysymetryczne definiuje się za pomocą "pokrętnej" tożsamości u(x,x) = 0, a nie tożsamości u(x,y) = - u(y,x). W ogólności pierwsze pociąga za sobą drugie, ale przeciwna implikacja wymaga odwracalności dwójki. W związku z tym powszechnie używa się mniej intuicyjnej definicji, która obejmuje skrajne przypadki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 19:27 
Użytkownik

Posty: 188
Może jeżeli całkę po rozmaitości się definiuje korzystając z tych wszystkich kostek singularnych lub sympleksów singularnych to nie trzeba oddzielać przypadku rozmaitości zerowymiarowych, ale tutaj jakoś nic mi się nie klei.

Tu np. orientację rozmaitości zerowymiarowych definiują osobno: http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Orienta ... _manifolds

A uwaga o formach antysymetrycznych ciekawa, chociaż ja wolę ogólną definicję form antysymetrycznych: F: V^k \to \mathbb{R} jako takich, że dla każdej permutacji \sigma zbioru \left\{1, 2, \ldots , k \right\}
F\left( v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \ldots , v_{\sigma(k)} \right )=\mathrm{sgn}(\sigma)F(v_1, v_2, \ldots , v_k).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 20:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 733
Lokalizacja: Warszawa
Sprawdziłem sobie w moich dwóch ulubionych źródłach (J.W. Milnor, J.M. Lee) - też robią oddzielnie. Co nie zmienia faktu, że można sobie definicję przeformułować. Co tutaj niby się nie klei?

Moja odpowiedź wynikała przede wszystkim z formy Twojego pytania na górze wątku. Domyślałem się, że odpowiedź typu "są osobne definicje orientacji i całki zrobione tak, żeby zachodziła ta równość" Cię nie interesuje, a raczej chciałbyś zobaczyć, w jaki sposób ogólne definicje mogą (jeśli im na to pozwolić) obsłużyć szczególny przypadek.

Z formami to nie o to mi chodzi. Podana przez Ciebie definicja k-form ma ten sam mankament co podana wcześniej przeze mnie - w przypadku ciał charakterystyki zero dawałaby po prostu formy symetryczne (bo wszystkie permutacje mają znak 1).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Twierdzenie Greena ze zwykłej funkcji  Kaktusiewicz  2
 obliczyć z twierdzenia Stokesa  kucinek  1
 Twierdzenie Greena-pytanie teoretyczne  LoGaN9916  0
 twierdzenie greena - zadanie 21  dawid91  30
 całka krzywoliniowa - twierdzenie Greena  Kanodelo  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com