szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Ciekawa suma
PostNapisane: 5 lis 2016, o 13:23 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
Udowodnić, że 1< \frac{1}{n+1} +  \frac{1}{n+2} + ...+  \frac{1}{3n+1} <2
Góra
Mężczyzna Online
 Tytuł: Ciekawa suma
PostNapisane: 5 lis 2016, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Wystarczy pokazać, że
\frac{1}{k+1}<\ln\left( 1+\frac 1 k\right)<\frac 1 k dla k \in \NN^+.

Wówczas mamy:

\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...+ \frac{1}{3n+1}<\ln\left( 1+ \frac{1}{n} \right)+\dots+\ln\left( 1+ \frac{1}{3n} \right)=\ln \left( \frac{3n+1}{n}\right) < \\ <\ln e^2=2

oraz
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...+ \frac{1}{3n+1}>\ln\left( 1+ \frac{1}{n+1} \right)+\dots+\ln\left(1+ \frac{1}{3n+1}  \right)=\\=\ln\left(  \frac{3n+2}{n+1} \right)>\ln e=1
Należy jednakoż zaznaczyć, że ta ostatnia nierówność działa dla n \ge 3, więc przypadki n=1, n=2 sprawdzamy ręcznie.

Nierówność \ln\left( 1+ \frac{1}{k} \right)  \le \frac 1 k to szczególny przypadek znanego \ln(1+x) \le x (dowód: rachunek różniczkowy lub nierówność \left( 1+\frac x n\right)^n \ge 1+x, przejście graniczne po lewej i zlogarytmowanie otrzymanej nierówności stronami).
Nierówność \ln \left(1+\frac 1 k\right)> \frac{1}{k+1}
już nie wydaje mi się taka prosta. Można skorzystać z rozwinięcia \ln(1+x) w szereg Malcaurina i wyciągnąć stąd dla dodatnich x nierówność
\ln\left( 1+x\right) > x- \frac{x^2}{2},
co po podstawieniu daje:
\ln\left( 1+\frac{1}{k}\right)> \frac{1}{k}- \frac{1}{2k^2},
zaś nierówność \frac{1}{k}- \frac{1}{2k^2}\ge \frac{1}{k+1}
c'est już oczywista.

-- 5 lis 2016, o 14:43 --

Nawiasem mówiąc, stojąc w gigantycznej kolejce w Biedro wpadłem na to, że szybciej to szacowanie można uzyskać tak:
\ln\left( 1+\frac 1 n\right)=\ln(n+1)-\ln n
i teraz używamy tw. Lagrange'a o wartości średniej, szacujemy pochodną logarytmu na przedziale (n,n+1) z góry i z dołu.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Ciekawa suma
PostNapisane: 5 lis 2016, o 18:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Można też tak, z AM-HM (równość w oczywisty sposób nie może zajść):

\frac{\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n+1}}{2n+1} > \frac{2n+1}{(n+1)+...+(3n+1)} = \frac{1}{2n+1}

Skąd dostajemy \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n+1} > 1

Z drugiej strony \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n+1} < \frac{2n+1}{n+1} < 2

Co dowodzi drugiej nierówności.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciekawa suma - zadanie 4  meursault  1
 ciekawa suma - zadanie 2  nashi  1
 Ciekawa suma  mol_ksiazkowy  2
 Ciekawa suma - zadanie 3  yorgin  4
 Oblicz (suma pierwiastków)  tranto  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl