szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2016, o 11:22 
Użytkownik

Posty: 226
Lokalizacja: Opole
Wykaż, że dla dodatnich a, b, c zachodzi:
\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}   \ge 3,
możliwie w sposób elementarny dla szkoły średniej, czyli bez użycia fajerwerków.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2016, o 11:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5383
\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}=3 \frac{\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}}{3}   \ge 3 \sqrt[3]{\frac{a}{b} \frac{b}{c} \frac{c}{a}} =3
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lis 2016, o 12:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4328
Lokalizacja: Łódź
Albo topornie

Niech a \ge b \ge c>0
Wtedy

a-b=x\\
b-c=y\\
a-c=x+y\\
x,y \ge 0\\ \\
 \frac{x}{b} \ge  \frac{x}{a} \\ \\
\frac{y}{c} \ge  \frac{y}{a}

Mamy

\frac{b+x}{b}+\frac{c+y}{c}+\frac{a-x-y}{a}= 3+ \frac{x}{b}+ \frac{y}{c}- \frac{x}{a}- \frac{y}{a} \ge 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2016, o 12:40 
Użytkownik

Posty: 226
Lokalizacja: Opole
Szkoda, że nie udało się zrobić bez użycia nierówności pomiędzy średnimi (kerajs). Zastanawiam się, czy "prywatne" założenie (kropki+) nie ogranicza pola działania nierówności. Mimo to dziękuję i czekam na kolejne rozwiązanie. Da się?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lis 2016, o 12:48 
Użytkownik

Posty: 1225
Ta nierówność nie zmienia się jedynie przy cyklicznym przesunięciu zmiennych, więc ustalając porządek trzeba rozpatrywać dwa przypadki. Tutaj wygodniej przyjąć założenie tylko co do jednej zmiennej - uczynić ją największą, najmniejszą lub "środkową" w naborze. Niech c=\min\{a,b,c\}, wtedy nierówność jest równoważna c(a-b)^2+b(a-c)(b-c)\ge 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2016, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 226
Lokalizacja: Opole
Pojąłem. Dalej jednak będę szukał innego dowodu :) Dziękuję
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2016, o 19:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9855
Lokalizacja: Wrocław
Wyrażenie x^3+y^3+z^3-3xyz można sprowadzić do postaci
\frac{1}{2} (x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) (pokonało mnie to na pierwszym semestrze studiów, ale przekształcenia są w pełni elementarne), zatem gdy x+y+z \ge 0, to
x^3+y^3+z^3 - 3xyz \ge 0, czyli x^3+y^3+z^3  \ge 3xyz.
Podstawiamy x= \sqrt[3]{ \frac{a}{b} },y= \sqrt[3]{ \frac{b}{c} },z= \sqrt[3]{ \frac{c}{a} } i gotowe.

nudne przekształcenia:    


-- 7 lis 2016, o 18:38 --

Przypomniało mi się, że można też uogólnić tę nierówność, otrzymując lemat, którego czasem używa się przy dowodzie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną.
Oto uogólnienie:
niech x_1, \dots x_n będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi, spełniającymi warunek x_1 \cdot x_2\cdot \dots x_n=1. Wówczas zachodzi nierówność x_1+x_2+\dots+x_n \ge n.

Dowód: indukcja po n.

\textbf{1}^{\circ} Dla n=2 mamy założenie x_1x_2=1, a do pokazania x_1+x_2\ge 2, ale skoro x_1x_2=1, to także \sqrt{x_1x_2}=1
i nierówność x_1+x_2\ge 2 sprowadzamy do x_1-2\sqrt{x_1x_2}+x_2 \ge 0, czyli
(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2\ge 0, co jest oczywiste.

\textbf{2}^{\circ} Załóżmy teraz, że dla pewnego n \in \NN^+ i dowolnych x_1, x_2, \dots x_n dodatnich o iloczynie 1 mamy x_1+x_2+\dots +x_n \ge n. Pokażemy, że wówczas także dla dowolnych x_1, \dots x_{n+1} dodatnich o iloczynie 1 zachodzi nierówność x_1+\dots +x_{n+1} \ge n+1.
Skoro x_1\cdot x_2\cdot \dots x_{n+1}=1 i x_j są dodatnie, to wśród liczb x_1, \dots x_{n+1} występuje co najmniej jedna liczba nie większa od 1 i co najmniej jedna nie mniejsza od 1. Bez straty ogólności (zmiana numeracji, iloczynu ani sumy to nie zmieni) przyjmijmy, że x_n \le 1 i x_{n+1} \ge 1. Wówczas mamy:
(1-x_n)(x_{n+1}-1) \ge 0, co rozwija się do x_{n}+x_{n+1} \ge 1+x_nx_{n+1}.
Rozważmy teraz liczby dodatnie y_1=x_1, y_2=x_2, \dots y_n=x_nx_{n+1}.
Oczywiście y_1 \cdot y_2 \cdot \dots y_{n}=x_1\cdot x_2\cdot \dots x_{n+1}=1, zatem z założenia indukcyjnego mamy
y_1+\dots+y_n \ge n, czyli x_1+\dots+x_{n}x_{n+1} \ge n.
Używając teraz nierówności x_n+x_{n+1}\ge 1+x_nx_{n+1}, otrzymujemy, że
x_1+\dots +x_n+x_{n+1} \ge x_1+\dots+x_nx_{n+1}+1 \ge n+1,
co kończy dowód.

Wystarczy położyć n=3, x_1= \frac{a}{b},x_2= \frac{b}{c}, x_3= \frac{c}{a} (oczywiście z założenia a,b,c>0) i po zadaniu.

-- 7 lis 2016, o 18:41 --

Chociaż nie wiem, czy indukcja matematyczna jest teraz w szkole średniej, u mnie była.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dowód na 1+1=2  bisz  21
 Wykazanie nierówności - zadanie 14  ann_mary  1
 Udowodnienie nierownosci  Artek101  15
 Dowód nierówności  Sebastian R.  2
 Dowód twierdzenia - zadanie 2  jacekgo  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl