szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2016, o 23:53 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Poznań
Witam.

Takie zadanie:
Wykazać, że dla każdego a, b\in\mathbb{R} i dla t\in (0;1) prawdziwa jest nierówność:

|a+(1+t)b|+|a+(1-t)b|\geq \frac{2t}{2+t}( |a|+|b|)

Nie wymyśliłem w sumie nic szałowego, bo coś takiego:

f(t)=|a+(1+t)b|+|a+(1-t)b|=|a+b+bt|+|a+b-bt|

I zauważyłem, że:

f(t)= \begin{cases} 2|a+b| \ \ \text{dla} \ \ (a+b+bt)(a+b-bt)=(a+b)^2-b^2t^2\geq 0\\ 
  2|b|t \ \ \text{dla} \ \ (a+b+bt)(a+b-bt)=(a+b)^2-b^2t^2 < 0 \end{cases}

Wobec tego rozważyłem dwa przypadki:
1^0 \qquad |a+b|\geq |b|t

I wychodząc z tego założenia:

|a+b|\geq |b|t=|-b|t=|a-(a+b)|t\geq |a|t-|a+b|t

|a+b|+|b|t\geq |a|t-|a+b|t+|b|t

|a+b|+|b|t+|a+b|t\geq |a|t+|b|t
Ale: 2|a+b|\geq |a+b|+|b|t
Zatem:
(2+t)|a+b|=2|a+b|+|a+b|t\geq |a|t+|b|t

No i w końcu:

2|a+b|\geq  \frac{2t}{2+t}( |a|+|b| )

Teraz zająłem się przypadkiem
2^0 \qquad |a+b|< |b|t

Wychodząc z nierówności:

|a+b|\geq |a|-|b|
Stąd:
|a+b|+|b|\geq |a|

Z warunku 2^0 otrzymujemy:

|b|t+|b|\geq |a+b|+|b|\geq |a|

|b|t+2|b|\geq |a|+|b|

Czyli:
|b|\geq \frac{1}{2+t}(|a|+|b|)

Ostatecznie:
2|b|t\geq \frac{2t}{2+t}(|a|+|b|)

A więc nierówność jest prawdziwa dla t>0 a więc tymbardziej dla t\in (0;1). W ten sposób twierdzenie zostało udowodnione.

Wiem, że karkołomny ten dowód bo zapewne jest to kwestia magicznego podstawienia które wszystko odsłoni, na usprawiedliwienie mogę powiedzieć, że to pierwsze tego typu zadanie za które się wziąłem, także proszę o w miarę niezbyt ostry hejt.... Mam jeszcze jeden pomysł jak innym sposobem to udowodnić ale musze jescze nad tym przysiąść. Pytanie tylko czy jest to w ogóle dobrze. Ja nie umiem znaleźć błędu, ale jestem na tyle zmęczony z braku czasu na sen, że mogę słabo myśleć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2016, o 00:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9856
Lokalizacja: Wrocław
To jest zadanie z Olimpiady Matematycznej (i to akurat najtrudniejsze z pierwszej serii). Tylko geniusze lub ludzie o sporym doświadczeniu w zmaganiach z podobnymi problemami radzą sobie z takimi rzeczami w sposób elegancki i prosty, więc nie musisz naprawdę przyjmować takiego "defensywnego" tonu.

Moim zdaniem rozwiązanie jest poprawne (choć ja akurat często się mylę :s), mocno techniczne, ale też na pewno daleko mu do jakiejś skrajnej brzydoty.

Dodam, że myślałem o tym zadaniu jakieś 30-40 minut i wymyśliłem tyle:



.

-- 9 lis 2016, o 23:19 --

A jeśli jesteś zainteresowany eleganckimi rozwiązaniami, to możesz zajrzeć do tego wątku:
410842.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2016, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Poznań
Premislav dzięki za odpowiedź.
Tyle tzn ile ?
Bo jest pozostawione puste pole w twoim poście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2016, o 14:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1288
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Dokładnie...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2016, o 14:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9856
Lokalizacja: Wrocław
No, puste pole oznacza, że nic nie wymyśliłem - to dość typowe w przypadku moich prób rozwiązania zadań, w których nie wystarczy podstawić do wzoru/odtworzyć schemat postępowania znany z zajęć lub książek.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl