szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Znowu średnie
PostNapisane: 10 lis 2016, o 18:29 
Użytkownik

Posty: 5407
Lokalizacja: Kraków
Udoeodnić, że \sqrt{ab} \leq \frac{1}{3}( a+ \sqrt{ab}+b) \leq \frac{a+b}{2} gdy a, b >0
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Znowu średnie
PostNapisane: 10 lis 2016, o 18:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9855
Lokalizacja: Wrocław
Czy to zadanie to żart? A może źle przepisane?

Obie nierówności są równoważne takiej: (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Znowu średnie
PostNapisane: 10 lis 2016, o 18:49 
Moderator

Posty: 2993
Lokalizacja: Starachowice
Racja - zbyt trudne nie było - ale głupio było mi kasować moje wypociny - więc je prezentuję:

(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0

(\sqrt a)^2-2\sqrt a\cdot\sqrt b + (\sqrt b)^2 \ge0\\ a-2\sqrt{a\cdot b}+b\ge0\ \ \ |+3\sqrt{a\cdot b}\\ a-2\sqrt{a\cdot b}+b+3\sqrt{a\cdot b} \ge 3\sqrt{a\cdot b}\\ a+\sqrt{a\cdot b}+b\ge 3\sqrt{a\cdot b}\ \ \ \ |:3\\ \frac13(a+\sqrt{a\cdot b}+b)\ge \sqrt{a\cdot b}\\ \blue \sqrt{a\cdot b}\le \frac13(a+\sqrt{a\cdot b}+b)

(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0\\ a-2\sqrt{a\cdot b}+b\ge0\ \ \ \ |+2a+2b\\ a-2\sqrt{a\cdot b}+b+2a+2b\ge 2a+2b\\ 3a+3b-2\sqrt{a\cdot b}\ge 2a+2b\\ 3a+3b\ge 2a+2\sqrt{a\cdot b}+2b\ \ \ \ |:6\\ \frac16(3a+3b)\ge \frac16(2a+2\sqrt{a\cdot b}+2b)\\ \frac{a+b}2\ge \frac13(a+\sqrt{a\cdot b}+b})\\ \blue \frac13(a+\sqrt{a\cdot b}+b)\le\frac{a+b}2
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Znowu średnie
PostNapisane: 10 lis 2016, o 19:47 
Użytkownik

Posty: 12578
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ale warto powiedzieć, że ta średnia w środku nazywa się średnia Herona
To on ok 50pne pokazał, że objętość ściętej piramidy oblicza się nozdrza taką średnia pół podstaw przez wysokość.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz średnie...  Luraos  1
 Potęgi i pierwiastki, średnie geometryczne  Talka17  1
 Nierówność [z Cauchy'ego - średnie]  patry93  4
 Trzy średnie  mol_ksiazkowy  1
 Nierówność dla czterech liczb (ułamki, średnie).  Gregorias  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl