szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2016, o 17:22 
Użytkownik

Posty: 5411
Lokalizacja: Kraków
Rozwiązać układ równań
\begin{cases} a^2= \frac{\sqrt{bc} \sqrt[3]{bcd}}{(b+c)(b+c+d)} \\ b^2= \frac{\sqrt{cd} \sqrt[3]{cda}}{(c+d)(c+d+a)} \\ c^2= \frac{\sqrt{da} \sqrt[3]{dab}}{(d+a)(d+a+b)} \\ d^2= \frac{\sqrt{ab} \sqrt[3]{abc}}{(a+b)(a+b+c)} \end{cases}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2016, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 1226
Żadna z niewiadomych nie może być zerem, bo jeżeli jedna byłaby, to byłyby wszystkie, a to zeruje mianowniki.
Ponadto z analizy wyrażeń pod pierwiastkami kwadratowymi wynika, że wszystkie niewiadome są dodatnie. WLOG niech c<0, wtedy z pierwszego i drugiego mamy, że ujemne są też b,d, a to od razu daje sprzeczność w znakach stron w pierwszym. Wobec tego a,b,c,d>0.
Z AM-GM a^2\le\frac{1}{6} itd.
Po wymnożeniu wszystkiego, podzieleniu przez a^2b^2c^2d^2 i pozbyciu się mianownika mamy (iloczyny cykliczne):
1=\prod (a+b)\cdot\prod (a+b+c)\le\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^4\cdot\left(\frac{3}{\sqrt{6}}\right)^4=1
Wobec tego a=b=c=d=\frac{\sqrt{6}}{6} i ta czwórka spełnia wyjściowy układ.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 układ równan - zadanie 25  kochana00  12
 Jak napisać układ równań  piotrek1200  5
 Układ równań z parametrem. - zadanie 6  kasienka00  1
 Rozwiąż układ równań - zadanie 73  De Moon  1
 (pierwiastki) jak to wyliczyć bez kalkulatora ?  uczeń_5  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl