szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2016, o 19:25 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Gliwice
Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania.

Przedstaw poniższy iloczyn permutacji, po skróceniu wyrażenia, jako iloczyn transpozycji:
\left( \left( 123\right)\left( 4567\right)\left( 132\right)\left( 43\right) \left( 135\right)    \right)  ^{4}

Wiem jak rozłożyć permutację na iloczyn transpozycji (w zapisie cyklicznym), potrafię mnożyć permutacje w postaci "tabliczki", ale czy mógłby ktoś przypomnieć metodę mnożenia permutacji zapisanych w postaci cyklów? Bardzo mi się ona myli. Tak samo z podnoszeniem do potęgi n, dzieliło się ją przez ilość transpozycji i zastępowało resztą z dzielenia? I w jaki sposób powinnam to skrócić?

Z góry dziękuję :oops:
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2016, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 1087
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
\left( \left( 123\right)\left( 4567\right)\left( 132\right)\left( 43\right) \left( 135\right) \right) ^{4}=  \left( 123\right) ^{4} \left( 4567\right) ^{4} \left( 132\right) ^{4} \left( 43\right)  ^{4} \left( 135\right) ^{4}= \left( 123\right) \left( 132\right)\left( 135\right)=\left( 13\right) \left( 12\right)\left( 12\right) \left( 13\right) \left( 15\right)  \left( 13\right) =\left( 15\right)  \left( 13\right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2016, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Gliwice
W jaki sposób przeszedłeś z \left( 123\right) ^{4} \left( 4567\right) ^{4} \left( 132\right) ^{4} \left( 43\right) ^{4} \left( 135\right) ^{4} na \left( 123\right) \left( 132\right)\left( 135\right)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2016, o 22:52 
Użytkownik

Posty: 1087
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Jeżeli x jest długością cyklu, to po złożeniu cyklu x - 1 razy ze sobą dostajemy identyczność (no bo bierzemy dowolny element cyklu i po wykonaniu x złożeń przechodzi on na siebie).
Np. \left( 123\right) ^{4}=\left( 123\right) ^{3 \cdot 1 + 1}=\left( 123\right) ^{1}=\left( 123\right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 12:24 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Gliwice
Rozumiem, dziękuję. :)
A dlaczego transpozycja \left( 43\right) ^{4} i cykl \left( 4567\right) ^{4} zniknęły?
\left( 43\right) ^{4} =   \left( \left( 43\right) ^{2} \right)^{2} = \left( \left( 4\right) \left( 3\right)  \right) ^{2}  = \left( 4\right) ^{2}\left( 3\right) ^{2}  = \left( 4\right) \left( 3\right)
Pomijamy to?

-- 12 lis 2016, o 12:45 --

Mruczek napisał(a):
Jeżeli x jest długością cyklu, to po złożeniu cyklu x razy ze sobą dostajemy identyczność (no bo bierzemy dowolny element cyklu i po wykonaniu x złożeń przechodzi on na siebie).


W takim razie \left( 4567\right) ^{4} = \left( 4567\right), więc dlaczego zniknął?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 1087
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Zależy jak liczymy. Ja przez złożenie np. czterokrotne rozumiałem właśnie \left( 4567\right) ^{4}. Zmieniłem poprzednie zdanie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Gliwice
Powoli mi się rozjaśnia. Czyli \left( 4567\right) ^{4}= \left( 4567\right) ^{0} = 1, bo 4\equiv 0 \pmod{4}?

Hmm... Na obecnym etapie jestem w stanie obliczyć \left( 43\right) ^{2} na piechotę w taki sposób:

\left( 43\right) ^{2} = \left( 43\right)\left( 43\right)= 
\binom{4\ 3}{3\ 4}\binom{4\ 3}{3\ 4}= 
\binom{4}{4}\binom{3}{3}=
\left( 4\right) \left( 3\right)

Gdzie popełniam błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 15:04 
Użytkownik

Posty: 1087
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Ok, przepraszam zamieszałem:
Jest prawdą, że:
\left( 43\right) ^{2} =\left( 4\right)\left( 3\right)
ale to co jest po prawej stronie to złożenie dwóch punktów stałych, czyli identyczność.
Tak więc Twoje pytanie "pomijamy to?" nie ma sensu, bo właśnie o to chodzi że skoro jest to identyczność to możemy ją pominąć.

Cytuj:
Powoli mi się rozjaśnia. Czyli \left( 4567\right) ^{4}= \left( 4567\right) ^{0} = 1, bo 4\equiv 0 \pmod{4}?

Tak.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 15:11 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Gliwice
Dziękuję :)

(Przed)ostatnie pytanie:
Czy cykle typu \left( 12345\right) ^{4}, \left( 12345\right) ^{3}, \left( 12345\right) ^{2} trzeba podnosić do potęgi za pomocą mnożenia kolejnych permutacji w postaci tabliczki? Co, jeśli będę musiała policzyć (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10\ 11)^{10}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 15:24 
Użytkownik

Posty: 1087
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Moim zdaniem możesz sobie narysować ten cykl w postaci grafu skierowanego.
No i np. w przypadku cyklu \left( 12345\right) krawędzie będą takie:
1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> 4, 4 -> 5, 5 -> 1
Strzałki wskazują jak liczby będą kolejno po sobie następowały.
Wydaje mi się, że jak składasz ze sobą ten sam cykl do potęgi k-tej to musisz dla każdej pozycji permutacji identycznościowej przejść się k razy po tym cyklu do przodu, tzn
np. dla powyższego cyklu przy k = 2 będzie tak:
1 -> 2 -> 3, czyli 1 przejdzie na 3
2 -> 3 -> 4, czyli 2 przejdzie na 4 itd.
Tak więc \left( 12345\right)  ^{2}= \binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5}{3\ 4\ 5\ 1\ 2}.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2016, o 15:36 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Gliwice
Wielkie dzięki! :) Wcześniej tego nie zauważyłam.

Przypomniałbyś jeszcze metodę składania permutacji w postaci cyklicznej? Wyleciała mi z głowy. Pamiętam, że szukało się 1 i brało się liczbę, która po niej następowała, potem od prawej (ale nie wiem czy od końca, czy od wybranej liczby) szukało się tej liczby występującej po raz drugi i gdy się nie znalazło, wpisywało się do wyniku najpierw 1, a potem tę liczbę. Potem znajdowało się 2 i postępowało się analogicznie. Ale co, jeśli przy pierwszej operacji znowu znajdę 1? Wtedy nie wpisuję tej liczby, którą wzięliśmy i która następowała po 1, tylko zostawiam (1) w wyniku (a potem pomijam), otwieram nawias i szukam dalej, dla 2?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 lis 2016, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: Gliwice
Dopiero po kolokwium dowiedziałam się, że nie wolno rozdzielać iloczynu transpozycji, gdy ten jest podniesiony do potęgi. Szkoda, że wprowadziłeś mnie w błąd, bo poleciało mi parę cennych punktów... Następnym razem skonsultuję się nie tylko na forum.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2016, o 23:52 
Użytkownik

Posty: 1087
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Czy możesz wyjaśnić dokładniej, o które posty Ci chodzi?
Nie wiem dokładnie o jakie miejsce Ci chodzi.

Jeżeli się pomyliłem, to na pewno nie było to celowe.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 mnożenie permutacji - zadanie 3  sxpyba  8
 cykle permutacji  duch200  2
 Dzisiejsza matura - iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym?  dafix  6
 Ile jest permutacji - zadanie 2  valverde12345  1
 Zadanie z permutacji - zadanie 2  szczepanik89  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl